第 3 课时 几何图形与一元二次方程1．掌握面积法建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题．2．继续探究实际问题中的数量关系，列出一元二次方程解应用题．3．通过探究体会列方程的实质，提高灵活处理问题的能力． 一、情境导入如图，在长为 10cm，宽为 8cm 的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下的图形(图中阴影部分)面积是原矩形面积的 80%，你能求出所截去小正方形的边长吗？二、合作探究探究点：用一元二次方程解决图形面积问题【类型一】利用面积构造一元二次方程模型 用 10 米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为 6 平方米．若设它的一条边长为 x 米，则根据题意可列出关于 x 的方程为( )A．x(5＋x)＝6 B．x(5－x)＝6C．x(10－x)＝6 D．x(10－2x)＝6解析：设一边长为 x 米，则另外一边长为(5－x)米，根据它的面积为 6 平方米，即可列出方程得：x(5－x)＝6，故选择 B.方法总结：理解题意，恰当的设未知数，把题中相关的量用未知数表示出来，用相等关系列出方程． 现有一块长 80cm、宽 60cm 的矩形钢片，将它的四个角各剪去一个边长为 xcm 的小正方形，做成一个底面积为 1500cm2的无盖的长方体盒子，求小正方形的边长．解析：设小正方形的边长为 xcm，则长方体盒子底面的长、宽均可用含 x 的代数式表示，再根据面积，即可建立等量关系，列出方程．解：设小正方形的边长为 xcm，则可得这个长方体盒子的底面的长是(80－2x)cm，宽是(60－2x)cm，根据矩形的面积的计算方法即可表示出矩形的底面积，方程可列为(80－2x)(60－2x)＝1500，整理得 x2－70x＋825＝0，解得 x1＝55，x2＝15.又 60－2x>0，∴x＝55(舍)．∴小正方形的边长为 15cm.方法总结：要从已知条件中找出关键的与所求问题有关的信息，通过图形求出面积，解题的关键是熟记各种图形的面积公式，列出符合题意的方程，整理即可．【类型二】整体法构造一元二次方程模型 如图，在一块长为 22 米，宽为 17 米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路分别与矩形的一条边平行)，剩余部分种上草坪，使草坪面积为 300 平方米．设道路宽为 x 米，根据题意可列出的方程为______________．解析：解法一：把两条道路平移到靠近矩形的一边上，用含 x 的代数式表示草坪的长为(22－x)米，宽为(17－x)米，根据草坪的面积为 300 平方米可列出方程(22－x)(17－x)＝300.解法二：根据面积的和差可列方程：22×17...
