第 3 课时 切线长定理1．掌握切线长定理，初步学会运用切线长定理进行计算与证明．2．了解有关三角形的内切圆和三角形的内心的概念．3．学会利用方程思想解决几何问题，体验数形结合思想．一、情境导入新农村建设中，张村计划在一个三角形中建一个最大面积的圆形花园，请你设计一个建筑方案．二、合作探究探究点一：切线长定理【类型一】利用切线长定理求三角形的周长 如图，PA、PB 分别与⊙O 相切于点 A、B，⊙O 的切线 EF 分别交 PA、PB 于点E、F，切点 C 在AB上．若 PA 长为 2，则△PEF 的周长是________．解析：因为 PA、PB 分别与⊙O 相切于点 A、B，所以 PA＝PB，因为⊙O 的切线 EF 分别交 PA、PB 于点 E、F，切点为 C，所以 EA＝EC，CF＝BF，所以△PEF 的周长 PE＋EF＋PF＝PE＋EC＋CF＋PF＝(PE＋EC)＋(CF＋PF)＝PA＋PB＝2＋2＝4.【类型二】利用切线长定理求角的大小 如图，PA、PB 是⊙O 的切线，切点分别为 A、B，点 C 在⊙O 上，如果∠ACB＝70°，那么∠OPA 的度数是________度．解 析 ： 如 图 所 示 ， 连 接 OA 、 OB. PA 、 PB 是 ⊙ O 的 切 线 ， 切 点 分 别 为A、B，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OAP＝∠OBP＝90°.又 ∠AOB＝2∠ACB＝140°，∴∠APB＝ 360° － ∠ PAO － ∠ AOB － ∠ OBP ＝ 360° － 90° － 140° － 90° ＝ 40°. 又 易 证△POA≌△POB，∴∠OPA＝∠APB＝20°.故答案为 20.方法总结：由公共点引出的两条切线，可以运用切线长定理得到等腰三角形．另外根据全等的判定，可得到 PO 平分∠APB. 【类型三】切线长定理的实 际应用 为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为 30°的三角板和一把刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径．若测得 PA＝5cm，则铁环的半径长是多少？说一说你是如何判断的．解：过 O 作 OQ⊥AB 于 Q，设铁环的圆心为 O，连接 OP、OA. AP、AQ 为⊙O 的切线，∴AO 为∠PAQ 的平分线，即∠PAO＝∠QAO.又∠BAC＝60°，∠PAO＋∠QAO＋∠BAC＝180°，∴∠PAO＝∠QAO＝60°.在 Rt△OPA 中，PA＝5，∠POA＝30°，∴OP＝5(cm)，即铁环的半径为 5cm.探究点二：三角形的内切圆【类型一】求三角形的内切圆的半径 如图，⊙O 是边长为 2 的等边△ABC 的内切圆，则⊙O 的半径为________．解析：如图，连接 ...
