24．3 正多边形和圆1．了解正多边形和圆的有关概念．2．理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系．3．会应用正多边形和圆的有关知识画正多边形． 一、情境导入如图，要拧开一个边长为 6cm 的正六边形螺帽，扳手张开的开口至少是多少？你能想办法知道吗？二、合作探究探究点一：正多边形的有关概念和性质【类型一】求正多边形的中心角 已知一个正多边形的每个内角均为 108°，则它的中心角为________度．解析：每个内角为 108°，则每个外角为 72°，根据多边形的外角和等于 360°，∴正多边形的边数为 5，则其中心为 360°÷5＝72°.【类型二】正多边形的有关计算 已知正六边形 ABCDEF 的半径是 R，求正六边形的边长 a 和面积 S.解：作半径 OA、OB，过 O 作 OH⊥AB，则∠AOH＝＝30°，∴AH＝R，∴a＝2AH＝R.由勾股定理可得：r2＝R2－(R)2，∴r＝R，∴S＝·a·r×6＝·R·R·6＝R2.方法总结：熟练掌握多边形的相关概念，以及等边三角形与圆的关系及有关计算．【类型三】圆的内接正多边形的探究题 如图所示，图①，②，③，…，，M，N 分别是⊙O 的内接正三角形 ABC，正方形 ABCD，正五边形 ABCDE，…，正 n 边形的边 AB，BC 上的点，且 BM＝CN，连接 OM，ON.(1)求图①中∠MON 的度数；(2)图②中∠MON 的度数是________，图③中∠MON 的度数是________； (3)试探究∠MON 的度数与正 n 边形边数 n 的关系．(直接写出答案)解 ： 图 ① 中 ， 连 接 OB ， OC. 正 三 角 形 ABC 内 接 于 ⊙ O ， ∴ ∠ OBM ＝ ∠ OCN ＝30° ， ∠ BOC ＝ 120°. 又 ∠ OCN ＝ 30° ， ∠ BOC ＝ 120° ， 而 BM ＝ CN ， OB ＝OC，∴△OBM≌△OCN，∴∠BOM＝∠CON，∴∠MON＝∠BOC＝120°；(2)90° 72°；(3)∠MON＝.探究点二：作圆的内接正多边形 如图，已知半径为 R 的⊙O，用多种工具、多种方法作出圆内接正三角形．解析：度量法：用量角器量出圆心角是 120 度的角；尺规作图法：先将圆六等分，然后再每两份合并成一份，将圆三等分．解：方法一：(1)用量角器画圆心角∠AOB＝120°，∠BOC＝120°；(2)连接 AB，BC，CA，则△ABC 为圆内接正三角形．方法二：(1)用量角器画圆心角∠BOC＝120°；(2)在⊙O 上用圆规截取AC＝AB；(3)连接 AC，BC，AB，则△ABC 为圆内接正三角形．方法三：(1)作直径 AD；(2)以 D 为圆心，以 OA 长为半径画...
