基于 MATLAB 的 2×2 光纤定向耦合器设计1 设计原理1.1 单模光纤的传导场如图 1，光纤的横截面有三层介质，分别是是芯层、包层和涂层，芯层折射率稍大于包层折射率,导波光由于全反射背包层约束在芯层中沿光纤延伸方向传播.假设光的传播方向为光纤中心轴方向。 图 1 阶跃光纤横截面结构图 为简化讨论，只考虑基模的耦合。已知光纤中传导场表达式为 （1-1)其中，为光纤中导波光场的场振幅，为光纤中导波光场的场分布，为基模场的传播常数，为角频率.某时刻在光纤中的传导场的空间分布就与,和为相关。1.1.1 单模光纤的场分布当给定波导（即光纤）的边界条件时,求解波导场方程可得本征解及相应的本征值，即模式。模式是波导结构的固有电磁共振属性的表征。单模光纤中只能存在基模，其场分布是确定的，可由亥姆霍兹方程求得。在弱导光纤中的电磁波，其横向场重量 Et、Ht远大于纵向场重量Ez、Hz ，而且横向场重量是线偏振的。于是我们把电场的横向重量取为 y 轴方向，即 Et=Ey。亥姆霍兹方程为 （1—2)其中,为真空中的光波矢量. 利用分离变量法，将方程 1-2 在圆柱坐标系中求解，并结合电磁场的边界条件，可以解出电场的横向重量 Ey: (1-3）其中，r 是点到光纤中心轴的距离，m 是整数，Jm和 Km分别是 m 阶贝塞尔函数和 m 阶变态汉克尔函数；a 是光纤芯层半径，一般单模光纤的 a=2～5µm.是极角。横向磁场只包含 Hx重量，由于横向电场与横向磁场的比等于波阻抗 Z0=122，故可由 Ey计算出 Hx： （1-4) 再由麦克斯韦方程组可求出场的纵向重量 Ez、Hz： （1-5）(1-6）1.1.2 单模光纤的传播常数由于在无耦合的情况下，光纤中导波光场的场振幅。故当某时刻 t 的场分布只同传播常数有关系。由式 1-3 可以得出光纤的本征方程本征方程，即 r =0 连续. （1—7）同理，由横向磁场的连续性同样可以得出本征方程: （1-8)由于特征方程是超越方程,只能靠计算机数值求解 U(或 W).其中 U 与 W 定义为 （1—9） （1—10)U 与 W 是场的横向传播常数，U 反映了导模在芯区中的驻波场的横向振荡频率，W 值反映了导模在包层中的消逝场的衰减速度。W 越大衰减越快.式 1-6、1—7 与 β 相联系，因此本征方程实际是关于 β 的一个超越方程.对于不同的 U 值，可求得相应的 β 值。由于贝塞尔函数及其导数具有周期振荡性质，所以本征值方程可以有多个不同的解 βmn（m=0，1，2,3。。., n=1，2，3。.....
