最小二乘法曲线拟合-原理及matlab实现VIP专享

曲线拟合（curve-fitting)：工程实践中，用测量到的一些离散的数据求一个近似的函数来拟合这组数据，要求所得的拟合曲线能最好的反映数据的基本趋势（即使最好地逼近,而不必满足插值原则。因此没必要取=，只要使尽可能地小）。原理：给定数据点。求近似曲线。并且使得近似曲线与的偏差最小。近似曲线在该点处的偏差，i=1,2，。。。,m。 常见的曲线拟合方法: 1.使偏差绝对值之和最小 2.使偏差绝对值最大的最小 3.使偏差平方和最小 最小二乘法： 按偏差平方和最小的原则选取拟合曲线,并且实行二项式方程为拟合曲线的方法,称为最小二乘法。推导过程： 1. 设拟合多项式为： 2. 各点到这条曲线的距离之和，即偏差平方和如下： 3. 问题转化为求待定系数.。.对等式右边求偏导数,因而我们得到了: .。..。。. 4、 把这些等式化简并表示成矩阵的形式，就可以得到下面的矩阵： 5. 将这个范德蒙得矩阵化简后可得到: 6。 也就是说 X*A=Y，那么 A = （X’＊X）-1＊X'*Y，便得到了系数矩阵 A，同时，我们也就得到了拟合曲线。MATLAB 实现：MATLAB 提供了 polyfit（)函数命令进行最小二乘曲线拟合.调用格式：p=polyfit（x,y，n） ［p，s]= polyfit(x，y，n） [p，s,mu]=polyfit（x，y，n)x，y 为数据点,n 为多项式阶数，返回 p 为幂次从高到低的多项式系数向量 p。x 必须是单调的。矩阵 s 包括 R（对 x 进行 QR 分解的三角元素）、df（自由度）、normr（残差）用于生成预测值的误差估量。 ［p,s,mu]=polyfit（x,y,n)在拟合过程中，首先对 x 进行数据标准化处理，以在拟合中消除量纲等影响，mu 包含标准化处理过程中使用的 x 的均值和标准差。polyval（ )为多项式曲线求值函数，调用格式： y=polyval（p,x) ［y,DELTA］=polyval(p,x,s）y=polyval(p,x)为返回对应自变量 x 在给定系数 P 的多项式的值。[y，DELTA］=polyval（p,x，s） 使用 polyfit 函数的选项输出 s 得出误差估量 Y DELTA.它假设 polyfit 函数数据输入的误差是独立正态的,并且方差为常数。则 Y DELTA 将至少包含 50%的预测值。如下给定数据的拟合曲线：x=[0。5,1.0,1.5,2。0，2.5，3。0］，y=［1.75,2.45,3。81,4。80,7.00，8。60]。解：MATLAB 程序如下：x=[0。5,1.0,1。5,2.0,2.5，3。0］;y=[1.75，2.45，3.81,4.80,7。00，8.60］；p=polyfit（x，y,2)x1=0。5：0.05：3。0;y1=polyval(p,x1）；plot（x，y，’＊r',x1，y1，'...