模运算即求余运算。“模”是“Mod”的音译，模运算多应用于程序编写中。 Mod 的含义为求余。模运算在数论和程序设计中都有着广泛的应用，从奇偶数的判别到素数的判别，从模幂运算到最大公约数的求法，从孙子问题到凯撒密码问题，无不充斥着模运算的身影。 例如 11 Mod 2，值为 1 上述模运算多用于程序编写，举一例来说明模运算的原理： Turbo Pascal 对 mod 的解释是这样的： A Mod B=A—(A div B) * B （div 含义为整除）基本理论 基本概念： 给定一个正整数 p，任意一个整数 n,一定存在等式 n = kp + r ； 其中 k、r 是整数，且 0 ≤ r 〈 p，称呼 k 为 n 除以 p 的商，r 为 n 除以 p 的余数. 对于正整数 p 和整数 a,b,定义如下运算: 取模运算：a % p（或 a mod p）,表示 a 除以 p 的余数。 模 p 加法:(a + b) % p ，其结果是 a+b 算术和除以 p 的余数，也就是说,(a+b) = kp +r，则（a + b) % p = r。 模 p 减法：（a-b) % p ,其结果是 a—b 算术差除以 p 的余数。 模 p 乘法：（a * b) ％ p，其结果是 a * b 算术乘法除以 p 的余数. 说明: 1. 同余式：正整数 a，b 对 p 取模，它们的余数相同，记做 a ≡ b % p 或者 a ≡ b （mod p）。 2。 n ％ p 得到结果的正负由被除数 n 决定，与 p 无关.例如：7％4 = 3, —7％4 = —3， 7％—4 = 3， —7%—4 = —3。 基本性质 （1)若 p|（a—b),则 a≡b (％ p）。例如 11 ≡ 4 （% 7), 18 ≡ 4(% 7) （2）(a ％ p)=(b ％ p)意味 a≡b (% p) (3）对称性：a≡b (% p）等价于 b≡a （％ p) （4）传递性:若 a≡b (% p)且 b≡c （％ p） ，则 a≡c (% p） 运算规则 模运算与基本四则运算有些相似，但是除法例外.其规则如下： （a + b） % p = （a ％ p + b ％ p） ％ p （1） (a — b） ％ p = （a ％ p - b % p） ％ p (2） (a * b） % p = （a ％ p * b ％ p) ％ p （3） (a^b） ％ p = (（a % p）^b） ％ p (4） 结合率： （（a+b） % p + c) % p = (a + （b+c） % p） % p （5） （（a＊b） % p * c)％ p = （a * (b＊c) ％ p) % p （6) 交换率: (a + b） ％ p = （b+a） % p (7) （a * b）...
