《计算方法》数值实验报告班级090712学号姓名金志彬实验室3-128设备编号D12日期2025.06.05 实验题目编写牛顿插值方法的 MATLAB 主程序并验算 P183.111、实验目的：通过编程实现牛顿插值方法，加深对多项式插值的理解。应用所编程序解决实际算例。2、实验要求：（1）仔细分析课题要求，复习相关理论知识，选择适当的解决方案；（2）上机实验程序，做好上机前的准备工作；（3）调试程序，记录计算结果；（4）分析和解释计算结果；（5）根据要求书写实验报告。3、实验内容：（1）算法原理或计算公式算法原理：根据均差定义，把 x 看成[a，b]上一点，可得 … 只要把后一式代入前一式，就得到其中 由式（1-1）确定的多项式显然满足插值条件，且次数不超过 n 次的多项式，其系数为 称为牛顿（Newton）均差插值多项式。系数就是书本表 5-1 中第一条斜线上对应的数值。式（1-2）为插值余项，由插值多项式唯一性可知，它与书本式（5.1.19）是等价的，事实上，利用均差与导数关系式可由式（1-2）推出书本式（5.1.19）。但式（1-2）更有一般性，它对 f 是由离散点给出的情形或 f 导数不存在时均适用。（2）程序设计思路 1)输入：n 的值及要计算的函数点 x(本文取 x0,x1 两个函数点);2)由计算的值；3）输出：。（3）源程序function f=Newton(x,y,x0,x1)syms t;if(length(x)==length(y)) n=length(x); c(1:n)=0.0;else disp('x 和 y 的维数不相等！'); return;endf=y(1);y1=0;l =1;for(i=1:n-1) for(j=i+1:n) y1(j)=(y(j)-y(i))/(x(j)-x(i)); end c(i)=y1(i+1); l=l*(t-x(i)); f=f+c(i)*l; y=y1;endf=simplify(f);g=subs(f,'t',x0)g1=subs(f,'t',x1)A=zeros(n,n-1);A=[y',A];for j=2:n for i=j:n A(i,j)=(A(i,j-1)-A(i-1,j-1))/(x(i)-x(i+1-j)); endenddisp('差商表为');disp(A);（4）运行结果>> x=[0 1 2 3];>> y=[1 2 17 64];>> x0=0.5;>> x1=2.5;>> f=Newton(x,y,x0,x1)g = 0.8750g1 = 35.3750差商表为 0 0 0 0 1.0000 1.0000 0 0 7.0000 6.0000 2.5000 0 3.0000 -4.0000 -5.0000 -2.5000 f = 1-2*t^2+3*t^34、实验小结体会：1）通过本次实验让我从实践验证了理论-------插值多项式的基本思想;2）牛顿插值法建立过程中用到了插商计算，这是有别于拉格朗日插值法的一部分，在已知点数较少的情况下用牛顿插值法较为准确；3）通过编程，加深了 matlab 的熟悉特别是一些函数语句，进一步体会到了函数逼近的思想。
