1.3.1 三角函数的周期性学习目标重点难点1．记住周期函数与最小正周期的定义．2 ． 会 求 函 数 y ＝ Asin(ωx ＋ φ) 及 y ＝Acos(ωx ＋ φ)(A ， ω ， φ 为 常 数 ， 且A≠0，ω＞0)的周期.重点：利用周期函数及最小正周期的定义，求正、余弦函数的周期．难点：利用周期函数解决相关问题.1．周期函数的概念(1)周期函数的定义：一般地，对于函数 f(x)，如果存在一个非零的常数 T，使得定义域内的每一个 x 值，都满足 f(x＋T)＝f ( x ) ，那么函数 f(x)就叫做周期函数，非零常数 T叫做这个函数的周期．(2)最小正周期：对于一个周期函数 f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做 f(x)的最小正周期．预习交流 1周期函数的定义中，能否把“定义域内的每一个 x 值”改为“定义域内存在一个 x值”？提示：不能．反例：y＝sin x(x∈R)对于 x＝，T＝，显然有 sin(x＋T)＝sin＝sin ＝sin x，但 T＝不是它的周期．2．三角函数的周期(1)正弦函数和余弦函数都是周期函数，2 k π( k ∈ Z 且 k ≠0) 都是它们的周期，它们的最小正周期都是 2π；正切函数 y＝tan x 也是周期函数，且最小正周期是 π.(2)一般地，函数 y＝Asin(ωx＋φ)及 y＝Acos(ωx＋φ)(其中 A，ω，φ 为常数，且A≠0，ω＞0)的周期 T＝.若函数 y＝f(x)的周期为 T，则函数 y＝Af(ωx＋φ)的周期为(其中 A，ω，φ 为常数，且 A≠0，ω≠0)．预习交流 2所有周期函数都有最小正周期吗？为什么？提示：并不是所有的周期函数都存在最小正周期．例如，常数函数 f(x)＝5，x∈R.当x 为定义域内的任何值时，都有 f(x)＝C，即对定义域内的每一个 x 值，f(x)都有 f(x＋T)＝C＝f(x)，因此 f(x)是周期函数．由于 T 是不为零的任意常数，而正数集合中没有最小者，所以 f(x)＝C 没有最小正周期．一、函数周期性的证明已知函数 f(x)对任意实数 x，都有 f(x＋m)＝－f(x)，求证：函数 f(x)是周期函数，并且 2m 是 f(x)的一个周期．思路分析：要证函数 f(x)是周期函数，就是要找到一个常数 T，使得对于任意实数x，都有 f(x＋T)＝f(x)，可根据 f(x＋m)＝－f(x)推导寻找．证明： 函数 f(x)对任意实数 x，都有 f(x＋m)＝－f(x)，∴f(x＋2m)＝f[(x＋m)＋m]＝－f(x＋m)＝－[－f(x)]＝f(x)．∴函数 f(x)是周期函数，并且 2m 是 f(x)的一个周期．若函数 y＝f(x)是奇函...
