1. 6 三角函数模型的简单应用（结）重点：用三角函数模型来刻画具有周期变化规律的实际问题．难点：对问题实际意义的数学解释，从实际问题中抽象出三角函数模型．一、三角函数在物理等其它学科中的应用各学科的知识可以相互应用，如物理学中的振动、波的传播、电流、生物学中的某些生活规律等，都可以用三角函数来模拟．例 1 弹簧挂着的小球作上下振动，它在时间 t(s)内离开平衡位置(就是静止时的位置)的距离h(cm)由下列函数关系决定：h＝3sin(2t＋ )．(1)以 t 为横轴，h 为纵轴，作出函数的图象(0≤t≤π)；(2)求小球开始振动的位置；(3)求小球第一次上升到最高点和下降到最低点的位置；(4)经过多长时间，小球往返振动一次？(5)每秒钟内小球能往返振动多少次？【分析】 解答本题可先画出 h＝3sin(2t＋ )的图象，然后结合图象去分析，解决问题．【解】 (1)图象如图所示：(2)令 t＝0，得 h＝ cm；(3)结合图象得最高点和最低点分别是(，3)，(，－3)；(4)周期 T＝π≈3.14，即每经过约 3.14 s 小球往返振动一次；(5)≈≈0.318，即每秒钟小球约往返振动 0.318 次．【点评】 此类题目属于正弦曲线在运动学中的应用，解答此类题目的关键在于利用已知条件作出函数图象，然后借助于数形结合的思想，结合必要的物理学知识加以分析解决．二、三角函数在自然界中的应用自然界中许多现象如日月的变化、时间的变化、潮水的变化等，可以用三角函数模拟研究．例 2 下表是某地一年中 10 天测量的白昼时间统计表.(1)以日期在 1 年 365 天中的位置序号为横坐标，描出这些数据的散点图；(2)确定一个满足这些数据的形如 y＝Acos(ωx＋φ)＋t 的函数；(3)用(2)中的函数模型估计该地 7 月 3 日的白昼时间．【分析】 解答本题可先作出散点图，然后把 y＝Acos(ωx＋φ)＋t 结合图象求出 A、ω，最后利用函数模型求 7 月 3 日的白昼时间．【解】 (1)(2)由散点图知白昼时间与日期序号之间的关系近似为 y＝Acos(ωx＋φ)＋t，由图形知函数的最大值为 19.4，最小值为 5.4，即 ymax＝19.4，ymin＝5.4.由 19.4－5.4＝14，∴A＝7.由 19.4＋5.4＝24.8，得 t＝12.4. T＝365，∴ω＝.∴y＝7cos(x＋φ)＋12.4.当 x＝172 时，cos(x＋φ)＝1，ymax＝19.4.得一个 φ 值为－，∴y＝7cos[]＋12.4.(3)7 月 3 日即 x＝184，y＝19.4，约为 19.4 小时．【点评】 本题是根据条件建立拟合函数，要根据散点图猜测可能用到的函数...
