高中数学 2.1 二阶矩阵与平面向量 2.1.2 二阶矩阵与平面列向量的乘法教学案 苏教版选修4-2-苏教版高二选修4-2数学教学案VIP专享

2．1.2 二阶矩阵与平面列向量的乘法1．二阶矩阵与平面列向量的乘法规则(1)行矩阵与列矩阵的乘法规则： ＝；(2)二阶矩阵与列向量的乘法规则： ＝.一般地，前一个矩阵的列数与后一个矩阵的行数相等时才能进行乘法运算．2．二阶矩阵与平面列向量乘法的几何意义(1)一个列向量左乘一个 2×2 矩阵 M 后得到一个新的列向量，如果列向量表示一个点P(x，y)，那么列向量左乘矩阵 M 后的列向量就对应平面上的一个新的点．(2)对于平面上的任意一个点(向量)(x，y)，若按照对应法则 T，总能对应唯一的一个点(向量)(x′，y′)，则称 T 为一个变换，简记为：T：(x，y)→(x′，y′)或 T：→.(3)一般地，对于平面向量变换 T，如果变换规则为 T：→＝，那么根据二阶矩阵与平面列向量的乘法规则可以改写为 T：→＝ 的矩阵形式，反之亦然(a、b、c、d∈R)．(4)由矩阵 M 确定的变换，通常记为 TM，根据变换的定义，它是平面内点集到自身的一个映射，平面内的一个图形它在 TM的作用下得到一个新的图形．二阶矩阵与平面列向量相乘[例 1] 设 A＝，Z＝，Y＝，求 AZ 和 AY.[思路点拨] 利用二阶矩阵和平面列向量的乘法公式求解．[精解详析] AZ＝ ＝，AY＝ ＝.若矩阵 A＝，列向量为 α＝，则 Aα＝ ＝，其结果仍是一个列向量，同时应注意，给出点的坐标可写成列向量的形式．1．计算：(1) ；(2) ；(3) ；(4) .解：(1) ＝＝；(2) ＝＝；(3) ＝＝；(4) ＝＝.2．给定向量 α＝，矩阵 A＝，B＝，C＝，D＝，计算 Aα，Bα，Cα，Dα.解：根据矩阵与向量的乘法，得Aα＝ ＝，Bα＝ ＝，Cα＝ ＝，Dα＝ ＝.坐标变换与矩阵乘法的互化[例 2] (1)已知变换＝ ，试将它写成坐标变换的形式；(2)已知变换＝，试将它写成矩阵的乘法形式．[思路点拨] 直接应用二阶矩阵与向量乘积的规定．[精解详析] (1)＝.故它表示的坐标变换为.(2)＝ .对于＝ ，首先由二阶矩阵与平面列向量乘法得 ＝，再由向量相等，得3．已知，试将它写成二阶矩阵与平面向量相乘的形式．解：因为所以即＝＝ .故＝ .4．解下列用矩阵表达式表示的方程组．(1) ＝；(2) ＝.解：(1)由 ＝，得＝，即解得(2)由 ＝，得＝，即解得求变换矩阵[例 3] 已知变换 T：平面上的点 P(2，－1)，Q(－1,2)分别变换成点 P1(3，－4)，Q1(0,5)，求变换矩阵 A.[思路点拨] 由题意可知，变换矩阵 A 为二阶矩阵，根据二阶矩阵与列向量的乘法，可列出方程组，解方程组即可求出二阶...