1.4.3 正切函数的图象与性质（结）重点：正切函数简图的画法及性质．难点：对正切函数的间断性的理解．有关正切函数的定义域、值域问题一、有关正切函数的定义域，除考虑正切函数本身的定义域之外，还要考虑一般函数的定义域；有关值域，主要注意 tanx∈R.例 1 求函数 y＝的定义域、值域．【分析】 这个函数的定义域既要使分母不为 0，同时也要使 tanx 有意义．求其值域，可采用换元法：t＝tanx.【解】要使函数有意义，必须有 k∈Z.由 tanx＝－1 得 x＝－＋kπ，k∈Z，∴原函数的定义域为{x|x≠－＋kπ，且 x≠＋kπ，k∈Z}．设 t＝tanx，则 t∈R，原函数可化为 y＝＝1－≠1，∴原函数的值域为{y|y≠1}．【点评】 tanx 的值域为 R，只要使 x 有意义，用一个实数 t 来表示 tanx，完全可以．二、有关正切函数的奇偶性和对称性问题由 tan(－x)＝－tanx 知正切函数是奇函数，其图象关于原点对称．(－，)内的图象关于原点对称，(－π，－)与(，π)的图象也关于原点对称．例 2 判断函数 y＝tan(x＋)的奇偶性，并求它的对称中心．【思路点拨】 通过求定义域及定义域关于原点的地对性判断奇偶性；令 x＋＝π(k∈Z)，求对称中心．【解】由 x＋≠kπ＋(k∈Z)，得 x≠kπ＋(k∈Z)，即函数的定义域为{x|x≠kπ＋，k∈Z}，不关于原点对称，∴y＝tan(x＋)为非奇非偶函数．令 x＋＝π(k∈Z)，∴x＝π－(k∈Z)，∴对称中心为(k∈Z)．【思维总结】 判断函数的奇偶性，有时由定义域即可得到结论，在做题时要注意灵活运用．三、有关正切函数的周期性和单调性问题正切函数在每一个开区间(k∈Z)内都是增函数，且这个开区间也是一个完整的周期．例 3 求函数 y＝tan(－x＋)的单调区间和最小正周期．【分析】可先化为 y＝－tan(x－)，从而把 x－整体代入(－＋kπ，＋kπ)，k∈Z 这个区间内，解出 x 便可．【解】y＝tan(－x＋)＝－tan(x－)．由 kπ－
