高中数学 3.2.2等差数列 新人教A版必修1

§3.2.2 等差数列目的：等差数列的性质重点:等差数列的性质设数列{an}是等差数列,它有下列性质(1)an=am+(n-m)d (其中 m、 n∈N*)(2)m 、n、p、q∈N*且 m+n=p+q,则有：am+an=ap+aq(3)a1+an=a2+an-1=…=ai+an-I=…(4)am+l-al=am+k-ak=md （其中 m、k、 l∈N*）（5）若{bn}也为等差数列，则{an±bn}与{kan+bn}(k、b 为非零实数)也是等差数列。 难点：等差数列性质的应用。 过程：一、复习：等差数列的定义，通项公式，等差中项，等差数列的证明 二、例 1、 在等差数列中，为公差，若且求证：1 2 证明：1设首项为， ∴ 2 ∴ 注意：由此可以证明一个定理：设成 AP，则与首末两项距离相等的两项和等于首末两项的和 ，即： 同样：若 则 例 2、 在等差数列中， 1 若 求 解： 即 ∴ 2 若 求 解：= 3 若 求 解： 即 ∴ 从而 4 若 求 解： 6+6=11+1 7+7=12+2 …… ∴ …… ∴+2 ∴=2 =2×8030=130例 3、在等差数列{an}中，若 a3+a4+a5+a6+a7=450,则 a2+a8=( )分析：利用等差数列的性质：距首、末两项距离相等的两个项的和都相等，即若m+n=p+q,则 am+an=ap+aq比较容量解出。解： a3+a4+a5+a6+a7=450，而 a3+ a7 =a4+ a6=2a5∴5 a5=450, ∴a5=90 ∴ a2+a8=2a5=180.例 4、设数列{an}，{bn}都是等差数列，且 a1=25,b1=75,a2+b2=100,那么由 an+bn所组成的数列的第 37 项为（ ） 分析：利用等差数列的性质求解十分方便。 解：由{an}，{bn}都是等差数列，可知{an+bn}也为等差数列。设 Cn=an+bnc1=a1+b1=100,c2=a2+b2=100∴d=c2-c1=0 故 cn=100（n∈N*）从而 c37=100例 5、已知 a、b、c 的倒数成等差数列，求证：，， 的倒数也成等差数列。分析：给定的是三个数的倒数成等差数列故应充分利用三个数 x、y、z 成等差数列的充要条件：x+y=2z。 证明：因为 a、b、c 的倒数成等差数列 ∴，即 2ac=b(a+c) 又+=-2=-2=-2=-2=-2=-2=所以，，的倒数也成等差数列。例6、已知数列{an}为等差数列，公差d≠0,an≠0, （n∈N*）,akx2+2ak+1x+ak+2=0（k∈N*）(1) 求证：当 k 取不同的正整数时，方程有公共根；(2) 若方程不同的根依次为 x1、x2、x3、… xn…，求证：、、…是等差数列。分析：（1）在已知一元二次方程中其系数为 ak、ak+1、ak+2为等差数列的连续三项，故可考虑利用等差中项，将其中一个系数用另两个系数的关系式来表示，这样可考...