高中数学 2.3数学归纳法学案 新人教A版选修2-2-新人教A版高二选修2-2数学学案

2．3 数学归纳法1．了解数学归纳法原理．2．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．1．数学归纳法．设{p(n)}是一个与自然数相关的命题集合，如果：①证明起始命题(p1 或 p 0)成立；②在假设 pk 成立的前提下，推出 pk＋1 也成立，那么可以断定，{p(n)}对一切自然数成立．2．用数学归纳法证题的步骤：(1)证明当 n 取第一个值 n0(例如 n0＝ 0 或_n0＝ 1 )时，命题{p(n)}正确；(2)假设 n ＝ k (k≥n0，k∈N*)时命题正确，证明当 n＝k ＋ 1 时命题也正确，即 p(k＋1)为真；(3)根据(1)(2)知，当 n≥n0且 n∈N*时，p(n)正确．想一想：(1)与正整数 n 无关的数学命题能否应用数学归纳法？(2)数学归纳法的第一步 n0的初始值是否一定为 1?(1)解析：不能．数学归纳法是证明与正整数 n 有关的数学命题的一种方法．(2)解析：数学归纳法的第一步中 n0的初始值应根据命题的具体情况来确定，不一定是1.如用数学归纳法证明凸 n 边形的内角和为(n－2)·180°时，其初始值 n0＝3. 1．用数学归纳法证明 1＋q＋q2＋…＋qn＋1＝(n∈N*，q≠1)，在验证 n＝1 等式成立时，等式左边的式子是(C)A．1 B．1＋qC．1＋q＋q2 D．1＋q＋q2＋q3解析：左边＝1＋q＋q1＋1＝1＋q＋q2.故选 C.2．用数学归纳法证明 1＋2＋3＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)(2n＋1)时，从“n＝k”到“n＝k＋1”，左边需增添的代数式是(C)A．(2k＋1)＋(2k＋2) B．(2k－1)＋(2k＋1)C．(2k＋2)＋(2k＋3) D．(2k＋2)＋(2k＋4)解析：当 n＝k 时，左边是共有 2k＋1 个连续自然数相加，即 1＋2＋3＋…＋(2k＋1)，所以当 n＝k＋1 时，左边共有 2k＋3 个连续自然数相加，即 1＋2＋3＋…＋(2k＋1)＋(2k＋2)＋(2k＋3)．所以左边需增添的代数式是(2k＋2)＋(2k＋3)．故选 C.3．用数学归纳法证明：“(n＋1)(n＋2)·…·(n＋n)＝2n·1·3·…·(2n－1)”．从“k 到 k＋1”左端需增乘的代数式为(B)1A．2k＋1 B．2(2k＋1)C. D.解析：当 n＝k 时左端的第一项为(k＋1)，最后一项为(k＋k)．当 n＝k＋1 时，左端的第一项为(k＋2)，最后一项为(2k＋2)．∴左边乘以(2k＋1)(2k＋2)，同时还要除以(k＋1)． 1．一个与正整数 n 有关的命题，当 n＝2 时命题成立，且由 n＝k 时命题成立可以推得 n＝k＋2 时命题也成立，则(B)A．该命题对于 n>2 的自然数 n 都成立B．该命题对于所有的正偶数都成立C．该命题何时成立与 k 取值无关D．以上答案都不对解析：由 n＝k...