纯虚数的一个性质及应用设bi 为纯虚数，a 为实数，则 biabia．证明：因为bi 为纯虚数，所以 b 为实数且0b ．又因为a 为实数，所以22biaba，2222()biababa ，故 biabia．纯虚数的这一性质不但和谐优美，利用这一性质还可以使许多问题得到整体解决．举例说明．例 1 设1zz 为纯虚数，求复数 z 在复平面内对应的点的轨迹．解：因为1zz 为纯虚数，显然0z ，1z ，所以1111zzzz，即 211z ．故有1122z ，0z ，1z ．因此 z 在复平面内对应点的轨迹是以1 02，为圆心，12 为半径的圆，除去点(0 0) (1 0)，，， ．例 2 设3131zz为纯虚数，求 z ．解：因为3131zz为纯虚数，所以3131113131zzzz，即 62z ．故有13z ．例 3 复数1z 满足113310zz，且13zzz为纯虚数，求 z 的最大值．解：因为13zzz为纯虚数，用心 爱心 专心1所以111133zzzzzz，即112(3)3zzz．而11233zzz≤，故1123310zzz≤，，所以5z ≤，故 z 的最大值为 5． 用心 爱心 专心2
