高中数学 2.2.3向量数乘运算及其几何意义（结）新人教A版必修4-新人教A版高中必修4数学素材

2. 2.3 向量数乘运算及其几何意义（结）命题方向 1 向量的数乘运算 若 3m＋2n＝a，m－3n＝b，其中 a、b 是已知向量，求 m、n.[分析] 把已知条件看作向量 m、n 的方程，联立方程组求得 m、n.[解析] 把已知中的两等式看做关于 m、n 的方程，联立方程组解得规律总结：此题在求解过程中，利用了实数与向量的积以及它所满足的运算律．另外，解向量的二元一次方程组的方法与解实数的二元一次方程组的方法相同．命题方向 2 向量共线定理的应用 已知两个非零向量 e1、e2 不共线，若AB＝2e1＋3e2，BC＝6e1＋23e2，CD＝4e1－8e2.求证：A、B、D 三点共线．[分析] [证明] AD＝AB＋BC＋CD＝2e1＋3e2＋6e1＋23e2＋4e1－8e2＝12e1＋18e2＝6(2e1＋3e2)＝6AB，∴AD∥AB.又 AD 和 AB 有公共点 A，∴A、B、D 三点共线．规律总结：用向量法证明三点共线时，关键是能否找到一个实数 λ，使得 b＝λa(a、b 为这三点构成的其中任意两个向量)．证明步骤是先证明向量共线，然后再由两向量有公共点，证得三点共线．命题方向 3 向量在平面几何中的探究应用 平行四边形一顶点和对边中点的连线能三等分此平行四边形的一条对角线吗？若能，请写出证明过程；若不能，请说明理由．[解析] 已知在▱ABCD 中，F 为 DC 的中点，E 为 AF 与 BD 的交点，求证：E 为 BD 的一个三等分点．证明：如图，设实数 λ、μ 满足AE＝λAF，BE＝μBD.∴AE＝AB＋BE＝AB＋μBD，∴λAF＝AB＋μBD. BD＝AD－AB，AF＝AD＋DF＝AD＋DC＝AD＋AB，∴λ(AD＋AB)＝AB＋μ(AD－AB)．∴(λ－μ)AD＝(1－μ－λ)AB. AB与AD不共线，∴，∴∴BE＝μBD＝BD.∴E 为 BD(靠近 D)的一个三等分点．同理可证，C 与 AB 中点的连线和 BD 的交点也为 BD(靠近 B)的一个三等分点．综上可得，平行四边形一顶点和对边中点的连线能三等分此平行四边形的一条对角线．规律总结：在上述证明过程中，由AB与AD不共线及(λ－μ)AD＝(1－μ－λ)AB，知必有(λ－μ)AD＝(1－μ－λ)AB＝0，进而得到关于 λ 与 μ 的方程组．通过本例，应掌握利用向量共线的条件解题的方法．命题方向 4 共线向量与三点共线问题 设两个非零向量 a 与 b 不共线，(1)若AB＝a＋b，BC＝2a＋8b，CD＝3(a－b)，求证：A、B、D 三点共线；(2)试确定实数 k，使 ka＋b 与 a＋kb 共线．[分析] (1)欲证三点 A、B、D 共线，即证存在实数 λ，使AB＝λBD，只要由已知条件找出 λ 即...