高中数学 3.2《数量积公式巧证垂直问题》素材 苏教版选修2-1

数量积公式巧证垂直问题 对于空间两个非零向量 a，b 来说，如果它们的夹角，ab，那么我们定义它们的数量积为cosa ba b．特别地，当两向量垂直时，0aba b．利用该结论，可以很好地解决立体几何中线线垂直或线面垂直的问题． 1．证明直线与直线垂直，可以转化为证明这两条直线上的非零向量的数量积为零．反之亦成立． 例 1 如图 1，已知空间四边形 ABCD 中，AB⊥CD，且 AD⊥BC，求证：AC⊥BD． 证明：设以空间一点 O 为起点，A、B、C、D 为终点的向量分别记为 a、b、c、d，由已知 ，AB⊥CD，且 AD⊥BC， 所以 () ()0() ()0，，．badca cb da db cdacba cb da bc d． ∴a db ca bc d ，即() ()0cadb． 因此，AC⊥BD． 评述：本题的结论是说，三棱锥中若两对对棱互相垂直，则第三对对棱也互相垂直．它的传统证法是过 A 点作平面 BCD 的垂线，通过三垂线定理及其逆定理来证明．以上用空间向量数量积作为工具，将几何问题代数化、程序化地解决． 2．证明直线与平面垂直，可以转化为证明这条直线上的非零向量与平面内两相交直线上的非零向量的数量积都为零． 例 2 直线 l 与平面 相交于点 O，求证：若直线 l 与平面 内的过 O 点的三条射线所成的角相等，则直线 l⊥平面 ． 证明：如图 2，在直线 l 上任取一点 P（Ｐ点不与Ｏ点重合），在平面 内过 O 点的三条射线上分别取点 A、B、C，使 OA=OB=OC≠０， 设∠POA=∠POB=∠POC= ，则易得 OP OAOP OBOP OC�， 所以()()0OP OAOBOP OCOB�， 所以OPBA�，OPBC�． 由于 BA、BC 是平面 内的两条相交直线， 因此，直线 l⊥平面 ．3．证明两个平面垂直，可以转化为证明这两个平面的法向量的数量积为零．例 3 如图 3，在正方体1111ABCDA B C D中，E、F 分别是1BB 、CD 的中点，求证：平面AED⊥平面11A FD ．证明：设1ABADAA�，，abc ，且1abc则0a ba cb c．用心 爱心 专心设111xyzmabc 是平面 AED 的一个法向量，则1111()0ADxyzy�mabc b，即10y  ．1111111()022AExyzxz�mabcac，即1112xz．因此，可以取111102xyz，，．于是，2 mac ．同理，...