高中数学 3.1《空间向量及其运算》素材 苏教版选修2-1

从三个方面谈空间向量 立体几何引入空间向量使得几何问题代数化，很多复杂的几何问题得以迎刃而解． 但不少学生对空间向量的学习把握不准确，不知道要掌握到什么程度，拓宽到什么程度．本文从“转、基、法”三方面谈空间向量必须掌握之处，供参阅． 一、“转” “转”即转化，即向量之间的相互表示；难点在于怎样有效地用已知向量来表示未知向量．正如三角函数求值中角的相互“转化”，怎样用已知角来代换未知角． 难点突破：寻找已知向量来表示所要求的向量往往立竿见影．或者利用分析法，根据所要求证的向量来表示要转化的向量． 例 1 如图 1，在空间四边形 ABCD 中，如果2222ACBCADBD�，求证： ABCD�． 证明：由2222ACBCADBD�，得 2222ACADBCBD�， 即() ()() ()ACADACADBCBDBCBD�， 取 CD 的中点 E，连结 AE 和 BE，则上式化为 22DCAEDCBE�，得2()0DCAEBE�， 即 DC AB�．所以 ABCD�． 评注：要得到 ABCD�，需从条件中构造，解答中的移项使得构造得以实现． 二、“基” “基”即基底，由空间向量基本定理，可知空间任一向量可由不共面的三个向量来表示．用基底的眼光看问题会使得空间向量的表示简洁明朗化． 例 2 已知正四面体OABC，Ｅ、Ｆ分别为 AB 、OC 的中点，求OE 与 BF 所成角的余弦值． 解：设正四面体OABC的棱长为 1，如图 2． 设OA �a，OB �b，OC �c， 则12a bb cc a，11()22OEBF�，abcb 11()22OE BF�abcb21 1112 222a cb ca bb，用心 爱心 专心 ∴2cos3OE BFOE BFOE BF���，．∴OE 与 BF 所成的角的余弦值为 23． 评注：基底的取法还有很多，以OA �a，OB �b，OC �c三向量为基底来表示其它向量，可使问题轻松获解． 三、“法” 法向量求法：设()xyz ， ，n，找平面 内两相交向量 a、b，再作0a n，0b n，得两方程，三个未知量两个方程，一般通过取定 z 的值来定法向量，0z 方向朝上，0z 方向朝下． 法向量的应用： （一）利用平面法向量求线面角 方法：如图 3，AB 为平面 的斜线，n 为平面 的法向量．如果AB�与 n 之间所成的角为锐角，则斜线 AB 与平面 之间所成的角为π2；若为钝角（当 n 方向朝另一面时，即与...