【金版学案】2015-2016 学年高中数学 3.1 变化率与导数学案 新人教A 版选修 1-1►基础梳理1．平均变化率．如果某个问题中的函数关系用 f(x)表示，那么问题的平均变化率可用式子表示，我们把这个式子称为函数 f(x)从 x1到 x2的平均变化率，简记为(这里的 Δx＝x2－x1，可以是正也可以是负)．注：①几何意义：两点(x1，f(x1))，(x2，f(x2)) 连线的斜率(割线的斜率)；②平均变化率反映了函数在某个区间上平均变化的趋势(变化快慢)，或说在某个区间上曲线陡峭的程度．2．瞬时速度和瞬时加速度．(1)平均速度： 物理学中，运动物体的位移与所用时间的比称为平均速度．(2)位移的平均变化率：．(3)瞬时速度：当 Δt 无限趋近于 0 时，无限趋近于一个常数，这个常数称为 t＝t0时的瞬时速度．(4)速度的平均变化率：.(5)瞬时加速度：当 Δt 无限趋近于 0 时，无限趋近于一个常数，这个常数称为 t＝t0时的瞬时加速度．注：瞬时加速度是速度对于时间的瞬时变化率，感受速度的平均变化率与加速度的关系，以及加速度与瞬时加速度的“逼近”关系．3．导数．(1)导数的概念．设函数 y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，x0∈(a，b)，若 Δx 无限趋近于 0 时，比值＝无限趋近于一个常数 A，则称 f(x)在 x＝x0处可导，并称该常数 A 为函数 f(x)在 x＝x0处的导数，记作 f′(x0)．(2)导数的几何意义．函数 y＝f(x)在点 x0处的导数 f′(x0)的几何意义就是曲线在该点处的切线的斜率 k，即k＝lim_＝f ′( x 0)．(3)导函数．如果函数 y＝f(x)在开区间(a，b)内的每一点都有导数 f′(x)，当 x 变化时，f′(x)便是 x 的一个函数，我们称 f′(x)为 f(x)的导函数，记作 f′(x)或 y′，即f′(x)＝y′＝lim_．(4)求导数的步骤．① 求函数的增量：Δy＝f ( x 2) － f ( x 1)；②求平均变化率：＝；③取极限，得导数：f′(x0)＝lim_＝ lim _．上述求导方法可简记为：一差、二化、三极限．►自测自评1．已知函数 y＝f(x)＝x2＋1，则当 x＝2，Δx＝0.1 时，Δy 的值为(B)A．0.40B．0.41C．0.43D．0.44解析：Δy＝f(2＋0.1)－f(2)＝(2.12＋1)－(22＋1)＝0.41.2．一物体的运动方程是 S＝3＋t2，则在一小段时间[2，2.1]内相应的平均速度为(D)A．0.41B．3C．4D．4.1解析：＝＝＝4.1.3．设 f′(x0)＝0，则曲线 y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线(B)A．不存在B．与 x 轴平行或重合C．与 x 轴垂直D．与 x 轴斜交11．设函...
