【金版学案】2015-2016 学年高中数学 3
3 函数的最大（小）值与导数学案 新人教 A 版选修 1-1►基础梳理1．函数的最大值与最小值．一般地，如果在区间[a，b]上函数 y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．函数的最值必在极值点或区间端点取得．2．求函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值的一般步骤：(1)求函数 y＝f(x)在区间(a，b)内的极值；(2)将函数 y＝f(x)的各极值与端点处的函数值 f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值
3．极值与最值的区别与联系：(1)极值与最值是不同的，极值只是相对一点附近的局部性质，而最值是相对于整个定义域或所研究问题的整体性质；(2)函数的最值通常在极值点或区间端点取得，若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值；(3)求函数的最值一般需要先确定函数的极值．因此函数极值的判断是关键，如果仅仅是求最值，可将导数值为零的点或区间端点的函数值直接求出并进行比较，也可以根据函数的单调性求最值．,►自测自评1．函数 f(x)＝x3－3x(|x|＜1)(C)A．有最大值，但无最小值B．有最大值，也有最小值C
无最大值，也无最小值D．无最大值，但有最小值解析：f′(x)＝3x2－3
当|x|＜1，f′(x)＜0，∴函数 f(x)在(－1，1)上单调递减，故选 C
2．函数 f(x)＝－x2＋4x＋1 在区间[3，5]上的最大值和最小值分别是 4 ， － 4 ．解析：令 f′(x)＝－2x＋4＝0，则 x＝2，f(x)在[3，5]上是单调函数，排除 f(2)，比较f(3)，f(5)，即得．3．函数 y＝xln x 在[1，3]内的最小值为 0．解析：y′＝ln x＋1， x∈[1，3]，∴y′＞0，∴函数 y＝xln x 在[1，3]内是递增函数，∴当 x＝1 时
