轨迹的“纯粹性”与“完备性” “曲线的方程与方程的曲线”的定义包 括两个方面：一是曲线上点的坐标都是方程的解———称为纯粹性；二是以方程的解为坐标的点都在曲线上———称为完备性．两者缺一不可，否则就容易导致失误． 例１ 方程22(2)40xyxy 的曲线是（ ） Ａ．两个点 Ｂ．一个圆 Ｃ．一条直线和一个圆 Ｄ．两条射线和一个圆 解析：有不少同学由原方程直接得20xy 或2240xy ，从而误选（Ｃ）． 以上解法忽视了定义域的限制，因此不符合轨迹的纯粹性．事实上，直线20xy上的点并不都适合该曲线（必须在圆2240xy 上或圆外才行）．故应选（Ｄ）． 例 2 试求到两坐标轴距离之差恒为 2 的点的轨迹． 解析：设()P xy，为轨迹上任意一点，则2xy ． 当0x≥，0y≥时，方程为2xy ，此时轨迹为以(2 0) (0 2)，，， 为端点，斜率为１的两条射线； 当00xy≤ ， ≥时，方程为2xy ，此时轨迹为以( 2 0) (0 2) ，，， 为端点，斜率为 1的两条射线； 当00xy≤ ， ≤时，方程为2yx ，此时轨迹为以( 2 0) (02)，，，为端点，斜率为１的两条射线； 当00xy≥ ， ≤时 ， 方 程 为2xy ， 此 时 轨 迹 为 以(2 0) (02)，，，为端点，斜率为 1的两条射线．（曲线如右图） 评注：求 轨迹的方程时，如果在轨迹条件解析化过程中忽视了方程变形的同解性，就可能破坏轨迹的纯粹性和完备性．本题易犯以下两方面的错误：一、如将方程2xy 两边平方，化为2224xyxy ，即2242xyxy①，再两边平方得22222(4)4xyx y，即(2)(2)(2)(2)0xyxyxyxy ②，从而误认为轨迹为四条直线，就破坏了轨迹的纯粹性．这是因为方程①中224xy≥0，化为②后把2240xy的区域的一些点也包括进去了；二、如果将点()P xy，到 x 轴的距离与到 y 轴的距离误认作 y 和 x，得轨迹方程|2xy ，则不但会破坏轨迹的纯粹性，还会破坏轨 迹 的 完 备 性 — — — 失 去 轨 迹 的 四 条 射 线 ， 同 时 多 出 两 条 线 段 （ 即 以用心 爱心 专心1(2 0) (02) (0 2) ( 2 0)，，，，，， ， 为端点的两条线段）． 例 3 过原点作直线l 与曲线246yxx交于 A、B 两点，求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程． 解 析 ： 设 直 线 l 的 方...
