学好四法易抓“轨” 求动点的轨迹方程问题是解析几何的基本问题．求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系．这类问题除了考查学生对一些常见曲线的定义、性质等基础知识的掌握以外，还充分考查了各种数学思想方法及其一定的推理能力和运算能力．求动点的轨迹方程经常采用的方法有直接法、定义法、代入法、参数法等，下面举例说明． 一、直接法 直接法是求轨迹方程最基本的方法，它是将动点满足的几何条件或者等量关系直接坐标化，列出等式，建立 x、y 之间的关系，化简即得动点轨迹方程()f xy，． 例 1 已知直角坐标平面上点(2 0)Q ， 和圆22:1C xy ，动点 M 到圆C 的切线长与MQ 的比等于常数 (0) ．求动点 M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线． 解 ： 如 图 1 ， 设 直 线 MN 切 圆 于 N 点 ， 则 动 点 M 组 成 的 集 合 是 ：|PMMNMQ（0 为常数）． 因为圆的半径1ON ， 所以22221MNMOONMO． 设点 M 的坐标为()xy，， 则22221(2)xyxy， 整理，得22222(1)()4(44)0xyx ， 当 λ=1 时，方程化为54x ，它表示一条直线； 当1 时，方程化为222222221 31(1)xy，它表示圆心在22201， ，半径为221 31的圆． 评注：本题考查曲线与方程的关系、轨迹的概念等解析几何的基本思想以及分类讨论的思想、方程的思想，还有综合运用知识的能力． 二、定义法 若动点轨迹的条件符合某一轨迹的定义，可用定义直接探求． 例 2 某检验员通常用一个直径为 2cm 和一个直径为 1 cm 的标准圆柱，检测一个直径为 3cm 的圆柱，为保证质量，有人建议再插入两个合适的同号标准圆柱，问这两个标准圆柱的直径为多少？ 解：设直径为 3，2，1 的三圆圆心分别为 O、A、B，问题转化为求两等圆 P、Q，使它们与O相内切，与AB，相外切．建立如图 2 所示的坐用心 爱心 专心标系，并设P的半径为r ，则11.52.5PAPOrr ，0.5AO ． ∴点 P 在以 A、O 为焦点，长轴长 2.5 的椭圆上， 其方程为22116241253xy ．① 同理点 P 也在以 O、B 为焦点，长轴长为 2 的椭圆上， 其方程为2214123xy．② 由①、②...
