双曲线的几何性质概要 1．双曲线22221xyab 的几何性质（参考教材 P39 图 2-3-5） （1）范围： xa≥或 xa≤， y R ． （2）对称性：双曲线关于 x 轴、y 轴和原点对称． （3）顶点：12(0)( 0)AaA a ，，， 这两个点称为双曲线的顶点，线段12A A 叫做双曲线的实轴，长为2a ；线段12B B （12(0)(0)BbBb，，，）叫做双曲线的虚轴，长为2b ． （4）渐近线：双曲线特有的性质，方程为byxa． 等轴双曲线：222(0)xyaa，它的渐近线方程为 yx ，离心率2e ． （5）离心率：离心率1cea ，随着e 的增大，双曲线开口逐渐变得开阔． 对渐近线的理解应掌握以下几点： （1）“渐近”的含义：当双曲线的各支向外延伸时，与两条渐近线逐渐接近，接近的程度是无限的，但永不相交． （2）要掌握根据双曲线的标准方程求它的渐近线方程的求法． 222200bxyxyyxaabab ， ∴把标准方程22221xyab 中的“１”用“０”替换即可得出渐近线方程． （3）双曲线的渐近线也是用来反映双曲线的开口大小程度的．所以双曲线的离心率与渐近线之间有着密切的联系，二者之间可以互求．已知渐近线方程时，可得的值，于是22222221cabbeaaa ，因此可求出离心率e 的值；而已知离心率的值，也可求出渐近线的方程，即21bea ．但要注意，当双曲线的焦点所在的坐标轴不确定时上述两类问题都有两解． 2．特别提示学习双曲线的几何性质，可以用类比思想，即象讨论椭圆的几何性质一样去研究双曲线的标准方程，从而得出双曲线的几何性质．双曲线系的三种形态用心 爱心 专心 1．过已知定点 A、B 的双曲线系221(0)mxnymn 例 1 求过两点(23)A，， ( 76 2)B ，且中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线的标准方程． 解：设所求双曲线为221(0)mxnymn． 双曲线过(23)A，，( 76 2)B ，， ∴ 289149721mnmn，，解得112575mn，． 故所求双曲线方程为2212575xy ． 2．与椭圆22221(0)xyabab共焦点的双曲线系22221xyab22()ba 例 2 求与椭圆2214xy 有相同焦点，且经过点(21)P ， 的双曲线方程． 解：设所求双曲线为221(14)41xy， 将点(21)P ， 代入解得2 ． 故所求双曲线方程为2212xy ． 3．与双曲线22221xyab 共渐近线的双...
