高中数学 常见的对数函数解题策略素材 新人教A版必修1

常见的对数函数解题策略 一、分类讨论例 1 若实数a 满足2log13a ，求a 的取值范围。 分析：需对a 进行分类讨论。 当1a  时，∵log1a a  ，∴2loglog3aa a，∴23a ； 当01a 时，∵2loglog3aa a，∴23a ，即203a。 故20,(1,)3a。 评注：解含有对数符号的不等式时，必须注意对数的底数是大于 1 还是小于 1，然后再利用相应的对数函数的单调性进行解答。理解会用以下几个结论很有必要①当1a  时，若log0a x ，则1x  ，若log0a x ，则01x ；②当01a 时，若log0a x ，则01x ，若log0a x ，则1x  。 二、数形结合 例 2 若 x 满足2log3xx ，则 x 满足区间（ ） A ．（0，1） B ．（1，2） C ．（1，3） D ．（3，4） 分析：本题左边是一个对数函数，右边是一个一次函数，可通过作图象求解。 解析：在同一直角坐标系中画出2logyx，3yx 的图象，如图所示，可观察两图象交点的横坐标满足13x，答案选C 。 评注：解决该类问题的关键是正确作出函数2logyx，3yx 的图象，从而用心 爱心 专心113O观察交点的横坐标的取值范围。 三、特殊值法 例 3 已知log (2)ayax在[0,1] 上为 x 的减函数，则a 的取值范围为（ ） A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(0,2) D ．[2,) 分析：由函数的单调性求底数a 的取值范围，逆向考查，难度较大，可采用特殊值法进行判断。 解 析 ： 取 特 殊 值0.5a ，10x  ，21x  ， 则 有10.5log (2)log2aax，20.53log (2)log2aax，与 y 是 x 的减函数矛盾，排除 A 和C ； 取特殊值3a  ，11x  ，则2230ax ，所以3a  ，排除 D 。 答案选 B 。 评注：本题由常规的具体函数判断其单调性，变换为已知函数的单调性反过来确定函数中底数a 的范围，提高了思维层次。 四、合理换元 例 4 若28x  ，求函数221144loglog5yxx的值域。 分析：通过对函数式进行变形，此题是一个二次函数求值域问题，可换元进行求解。 解析：设14logtx，∵28x  ，∴1144log 8log 2t ，即3122t 。又221144loglog5yxx21144log2log5xx ，∴2225(1)4yttt ，∵3122t ，∴当1t  时，y 最小值为 4；当32t 或12t 时，y 值相等且最大，y 最大为174 。用心 爱心 专心2 故函数 y 的值域为174, 4。 评注：换元法是一种常见的数学思想，也是一种常用的解题技巧，希望同学们在今后的学习中合理转化，灵活运用。用心 爱心 专心3