高中数学 初高中衔接读本 专题3.2 二次函数的最值问题精讲深剖学案-人教版高一全册数学学案VIP专享

第 2 讲 二次函数的最值 二次函数是初中函数的主角，所蕴含的函数性质丰富，也是高中学习的重要基础．当自变量在某个范围内取值时，求函数的最大（小）值，这类问题称为最值问题问题．最值问题在实际生活中也有广阔的应用．【知识梳理】1.二次函数解析式的三种形式：一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0).顶点式：y＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n).零点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为 f(x)的零点.2.二次函数的图象和性质解析式y＝ax2＋bx＋c(a>0)y＝ax2＋bx＋c(a<0)图象对称性函数的图象关于 x＝－对称3.二次函数的最值（1）.当 a＞0 时，函数 y＝ax2＋bx＋c 图象开口向上；顶点坐标为，对称轴为直线 x＝－；当 x＜时，y 随着 x 的增大而减小；当 x＞时，y 随着 x 的增大而增大；当 x＝时，函数取最小值 y＝．（2）.当 a＜0 时，函数 y＝ax2＋bx＋c 图象开口向下；顶点坐标为，对称轴为直线 x＝－；当 x＜时，y 随着 x 的增大而增大；当 x＞时，y 随着 x 的增大而减小；当 x＝时，函数取最大值 y＝． 【典例解析】求下列函数的最值（1）当时，求函数的最大值和最小值；（2）当时，求函数的最大值和最小值。【分析】作出函数在所给范围的及其对称轴的草图，观察图象的最高点和最低点，由此得到函数的最大值、最小值及函数取到最值时相应自变量的值． 【解析】（1）作出函数的图象．当时，，当时，．（2）作出函数的图象．当时，，当时，．【解题反思】由上述两例可以看到，二次函数在自变量的给定范围内，对应的图象是抛物线上的一段．那么最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值．根据二次函数对称轴的位置，函数在所给自变量的范围的图象形状各异．下面给出一些常见情况：【变式训练】1.当时，求函数的取值范围．【点评】本题看似不是最值问题，但只要求出了最值，函数的取值范围自然可确定。2.当时，求函数的最小值(其中 为常数)．【分析】由于所给的范围随着 的变化而变化，所以需要比较对称轴与其范围的相对位置． (3) 当对称轴在所给范围右侧．即时：当时，．综上所述：【点评】本题所给的取值范围不确定，但函数确定，即对称轴固定，可分情况讨论取值相对于对称轴的位置即：在轴的左、右、包含对称轴三种情况求出最值，为轴定取值变问题。3.提出问题：当 x＞0 时如何求函数 y=x+的最大值或最小值？分析问题：前面我们刚刚学过二次函数的相关知识，知道求二次...