积分思想的渊源微积分作为近代数学的重要成果之一，是“人类精神的最高胜利(恩格斯)”．众所周知，在牛顿和莱布尼茨创立微积分之前，许多伟大的数学家为此作出了杰出的贡献．翻开有关微积分的教材和介绍其发展历史的著述，大多数定理的前面都冠之以某某外国人的名字，却很少甚至根本就没有反映中华民族对于微积分的形成与发展所作出的贡献．但大量历史事实无可辩驳地说明，我国是人类数学的故乡之一．中华民族有着光辉灿烂的数学史，对世界数学的形成与发展作出了巨大贡献．作为产生微积分的必要条件中，有些是在我国早已有之．魏晋时期的数学家刘徽的“割圆术”，与近代极限思想基本上是一致的，可以说“割圆术”是最早的极限思想，至少也是近代极限思想的雏形．1．________问题是促使微积分产生的主要因素之一，而这类问题直到 17 世纪由________和________建立微积分之后才从根本上得到了解决．2．在积分思想发展的过程中，一批古代伟大的数学家为此作出了杰出的贡献，如古希腊时代伟大的数学家、力学家______，我国古代著名数学家______、______和______等．3．16,17 世纪是微积分思想发展最为活跃的时期，其杰出的代表有________、________以及卡瓦列里等，他们的工作为微积分理论的创立奠定了基础．4．刘徽的割圆术是________思想的开始，他计算体积的思想是________的萌芽．5．刘徽从圆内接正六边形，并取半径为 1 尺，一直算到正 192 边形，得到了圆周率π≈3.14，化成分数就是________，这就是著名的徽率．答案：1．求积 牛顿 莱布尼茨2．阿基米德 刘徽 祖冲之 祖暅3．伽利略 开普勒4．极限 积分学5.一、刘徽的割圆术【例 1】 根据刘徽割圆术的思想，试推导圆内接正 2n 边形的面积与圆内接正 n 边形面积之间的关系式．解：如图所示，设圆的半径为 1，弦心距 OM 为 hn；正 n 边形的边长 AB 为 an，面积为 Sn，根据勾股定理，得：hn＝，a2n＝(n≥6)，正 2n 边形的面积等于正 n 边形的面积加上 n 个等腰三角形的面积，即 S2n＝Sn＋n·an·(1－hn)．根据这个递推公式，可求得 S6＝6×；S12＝3；S24≈3.105 828，…已知半径为 1 的圆内接正十二边形的边长为，面积为 3，求出圆内接正二十四边形的边长和面积．二、割圆术与极限思想【例 2】 为什么说刘徽的“割圆术”与近代极限思想基本上是一致的？答：对于圆的面积的计算，在我国的古典算书《九章算术》的“圆田术”中给出了计算圆面积的法则：“...
