函数定义域与思维品质思维品质是指个体思维活动特殊性的外部表现。它包括思维的严密性、思维的灵活性、思维的深刻性、思维的批判性和思维的敏捷性等品质。函数作为高中数学的主线，贯穿于整个高中数学的始终。函数的定义域是构成函数的两大要素之一，函数的定义域(或变量的允许值范围)似乎是非常简单的，然而在解决问题中不加以注意，常常会使人误入歧途。在解函数题中强调定义域对解题结论的作用与影响，对提高学生的数学思维品质是十分有益的。1. 函数关系式与定义域 函数关系式包括定义域和对应法则，所以在求函数的关系式时必须要考虑所求函数关系式的定义域，否则所求函数关系式可能是错误。如： 例 1：某单位计划建筑一矩形围墙，现有材料可筑墙的总长度为 100m，求矩形的面积 S 与矩形长 x 的函数关系式？ 解：设矩形的长为 x 米，则宽为(50－x)米，由题意得： 故函数关系式为：． 如果解题到此为止，则本题的函数关系式还欠完整，缺少自变量 x 的范围。也就说学生的解题思路不够严密。因为当自变量 x 取负数或不小于 50 的数时，S 的值是负数，即矩形的面积为负数，这与实际问题相矛盾，所以还应补上自变量 x 的范围：即：函数关系式为： （）这个例子说明，在用函数方法解决实际问题时，必须要注意到函数定义域的取值范围对实际问题的影响。若考虑不到这一点，就体现出学生思维缺乏严密性。若注意到定义域的变化，就说明学生的解题思维过程体现出较好思维的严密性。11. 函数最值与定义域 函数的最值是指函数在给定的定义域区间上能否取到最大(小)值的问题。如果不注意定义域，将会导致最值的错误。如： 例 2：求函数在[－2，5]上的最值． 解：∵ ∴ 当时，初看结论，本题似乎没有最大值，只有最小值。产生这种错误的根源在于学生是按照求二次函数最值的思路，而没有注意到已知条件发生变化。这是思维呆板性的一种表现，也说明学生思维缺乏灵活性。 其实以上结论只是对二次函数在 R 上适用，而在指定的定义域区间上，它的最值应分如下情况： ⑴ 当时，在上单调递增函数； ⑵ 当时，在上单调递减函数； 2⑶ 当时，在上最值情况是： ， ．即最大值是中最大的一个值。 故本题还要继续做下去： ∵ ∴ ∴ ∴ 函数在[－2，5]上的最小值是－ 4，最大值是 12． 这个例子说明，在函数定义域受到限制时，若能注意定义域的取值范围对函数最值的影响，并在解题过程中加以注意，便体现出学生思维的灵活性。 3
