数列的通项以及用归纳法证明不等式例 在 1 与 2 之间插入 个正数，使这个数成等比数列；又在 1 与 2之 间 插 入个 正 数， 使 这个 数 成 等 差 数 列 ． 记．求：（1）求数列和的通项； （2）当时，比较与的大小，并证明你的结论．分析：本题考查等差数列，等比数列的知识，以及观察、分析、归纳的能力和数学归纳法．解：（1）成等比数列， 成等差数列，所以数列的通项，数列的通项（2）要比较与的大小，只需比较的大小，也就是比较当时，与的大小．当时，，知经验证，时，均有成立，猜想，当时有下面用数学归纳法证明：（ⅰ）时已证（ⅱ）假设时不等式成立，即，好么用心 爱心 专心故．即时不等式也成立．根据（ⅰ）和（ⅱ）当时，成立，即说明：开放题求解要注意观察题目的特点，可以先通过特殊数尝试可能的结果，然后总结归纳出一般规律，利用归纳法证明结论．猜想数列通项、利用归纳法证明不等式例 设数列满足（1）当时，求，并由此猜想出的一个通项公式；（2）当时，证明对所有的，有（ⅰ） （ⅱ）分析：本小题主要考查数列和不等式等知识，考查猜想、归纳、推理以及分析问题和解决问题的能力．解：（1）由得由得由，得由此猜想的一个通项公式：（2）（ⅰ）用数学归纳法证明：① 当，不等式成立．②假设当时不等式成立，即，那么，也就是说，当时，根据①和②，对于所有，有（ⅱ）由及（ⅰ），对，有……用心 爱心 专心于是 说明：证明不等式的题型多种多样，所以不等式证明是一个难点，在由 n=k 成立，推导n=k+1 不等式也成立时，过去讲的证明不等式的方法再次都可以使用，如比较法、放缩法、分析法、反证法等，有时还要考证与原不等式的等价的命题．数列与归纳法的综合题例 设为常数，且（Ⅰ）证明对任意 （Ⅱ）假设对任意有，求的取值范围．分析： 本小题主要考查数列、等比数列的概念，考查数学归纳法，考考灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力．证明：（Ⅰ）证法一：（1）当时，由已知，等式成立．（ⅱ）假设当等式成立，即那么也就是说，当时，等式也成立．根据（ⅰ）和（ⅱ）可知证法二：如果设用代入，可解出所以是公比的－2，首项为的等比数列．用心 爱心 专心即（Ⅱ）解法一：由通项公式 ①（ⅰ）当时，①式即为即为 ②② 式对都成立，有（ⅱ）当时，即为 ③③ 式对都成立，有综上，①式对任意成立，有故的取值范围为解法二：如果成立，特别取有因此 下面证明当时，对任意...
