高中数学 第1讲 相似三角形的判定及有关性质 3.2 相似三角形的性质学案 新人教A版选修4-1-新人教A版高中选修4-1数学学案

2．相似三角形的性质1．掌握相似三角形的性质．(重点)2．能利用相似三角形的性质解决有关问题．(难点)[基础·初探]教材整理 相似三角形的性质阅读教材 P16～P19“习题”以上部分，完成下列问题．1．相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．2．相似三角形周长的比等于相似比．3．相似三角形面积的比等于相似比的平方．4．相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方． 如图 1326，△ABC 中，DE∥BC，若 AE∶EC＝1∶2，且 AD＝4 cm，则 DB 等于( )图 1326A．2 cm B．6 cmC．4 cmD．8 cm【解析】 由 DE∥BC，得△ADE∽△ABC，∴＝，∴＝＝，∴DB＝4×2＝8(cm)．【答案】 D[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问 1： 解惑： 疑问 2： 1解惑： [小组合作型] 利用相似三角形性质进行证明 (2016·南开中学模拟)如图 1327 所示，在△ABC 中，AB＝AC，BD⊥AC.求证：BC2＝2AC·CD. 【导学号：07370015】图 1327【精彩点拨】 要证 BC2＝2AC·CD，可考虑用三角形相似证明，但等式右边有常数 2，故可考虑 AC 或 CD 的 2 倍，由图形知可考虑取 BC 的中点，也可考虑 CD 的 2 倍．【自主解答】 法一 取 BC 的中点 E，连接 AE. AB＝AC，BE＝CE，∴AE⊥BC.∴∠AEC＝∠BDC＝90°，∠C＝∠C.∴△BDC∽△AEC.∴＝，即 BC·CE＝AC·CD.于是有 BC2＝AC·CD.即 BC2＝2AC·CD.法二 在 DA 上截取 DF＝DC，连接 BF.在△BFD 和△BCD 中， BD⊥CF，∴∠BDF＝∠BDC＝90°.又 DF＝DC，BD＝BD，∴△BFD≌△BCD，∴∠BFC＝∠C.又 AB＝AC，∴∠ABC＝∠C.则∠BFC＝∠ABC.∴△ABC∽△BFC.∴＝.∴BC2＝AC·FC＝2AC·CD.要证明线段相等、角相等、比例式成立等结论，有时需化归到相似三角形中加以证明，若不存在相似三角形，可添加辅助线，构造相似三角形，最终得到结论．2[再练一题]1．如图 1328，在矩形 ABCD 中，E 是 DC 的中点，BE⊥AC 交 AC 于 F，过 F 作 FG∥AB 交 AE 于G.求证：AG2＝AF·FC.图 1328【证明】 E 为矩形 ABCD 的边 DC 的中点，∴AE＝BE.又 GF∥AB，∴EG＝EF，∴AG＝BF. BE⊥AC 于 F，∴Rt△ABF∽Rt△BCF，∴＝，∴BF2＝AF·FC，∴AG2＝AF·FC.[探究共研型]相似三角形的性质探究 1 两个相似三角形的外接圆的直径比、周长比、面积比与相似比有什么关系？【提...