高中数学 第1讲 相似三角形的判定及有关性质章末分层突破学案 新人教A版选修4-1-新人教A版高中选修4-1数学学案

第 1 讲 相似三角形的判定及有关性质章末分层突破[自我校对]① 平行线等分线段定理② 平行线分线段成比例定理③ 判定定理④ 相似三角形的性质⑤ 直角三角形的射影定理 证明等积线段或成比例线段利用相似三角形的性质可以得到等积式或比例式，是解决这类问题的基本方法．解决这类问题一般可分为三步：(1)把等积式化为比例式，从而确定相关的两个三角形相似．(2)确定两个相关的三角形的方法是：把比例式横看或者竖看，将两条线段中的相同字母消去一个，由余下的字母组成三角形. (3)设法找到证明这两个三角形相似的条件． 如图 11，在△ABC 中，∠BAC＝90°，BC 边的垂直平分线 EM 和 AB，CA 的延长线分别交于 D，E，连接 AM.图 11求证：AM2＝DM·EM.【规范解答】 ∠BAC＝90°，1M 是 BC 的中点，∴AM＝CM，∠MAC＝∠C. EM⊥BC，∴∠E＋∠C＝90°.又 ∠BAM＋∠MAC＝90°，∴∠E＝∠BAM. ∠EMA＝∠AMD，∴△AMD∽△EMA，∴＝，∴AM2＝DM·EM.[再练一题]1．如图 12，在△ABC 中，DE∥BC，DH∥GC.求证：EG∥BH.图 12【证明】 DE∥BC，∴＝. DH∥GC，∴＝，∴AE·AB＝AC·AD＝AH·AG，∴＝.∴EG∥BH.利用相似三角形证明线段相等证明两条线段相等，一般情况下，利用等角对等边或全等三角形的性质来解决．但有些证明两条线段相等的几何题利用前面的方法得不出来，或过程比较繁琐，此时可以借助于相似三角形的有关比例线段来解决． 如图 13，AD，CF 是△ABC 的两条高线，在 AB 上取一点 P，使 AP＝AD，再从 P 点引BC 的平行线与 AC 交于点 Q.图 13求证：PQ＝CF.【规范解答】 AD，CF 是△ABC 的两条高线，∴∠ADB＝∠BFC.又∠B＝∠B，∴△ABD∽△CBF，∴＝.又 PQ∥BC，∴∠APQ＝∠B，∠AQP＝∠ACB，∴△APQ∽△ABC.∴＝，即＝，2∴＝.又 AP＝AD，∴PQ＝CF.[再练一题]2．如图 14，已知▱ABCD 的对角线相交于 O，延长 AB 到 F，连接 OF 交 BC 于 E，若 AB＝a，BC＝b，BF＝c，求 BE 的长．【导学号：07370023】图 14【解】 过 O 作 OG∥AB，交 BC 于 G 点． ∠COG＝∠CAB，∠CGO＝∠CBA，∴△COG∽△CAB，∴＝＝.又 O 是▱ABCD 的对角线的交点，∴CO＝CA. OG＝AB＝a，CG＝BC＝b，∴BG＝B.又 OG∥AF，∴∠OGB＝∠GBF，∠GOF＝∠F.∴△OGE∽△FBE，∴＝，∴＝，即＝，∴BE＝.射影定理射影定理揭示了直角三角形中两直角边在斜边上的射影，斜边及两直角边之间的比例关系，...