高中数学 用数学归纳法证明不等式的若干技巧和对策素材 新人教B版必修5

用数学归纳法证明不等式的若干技巧和对策吴文尧 (浙江省宁波市北仑中学 315800) 数学归纳法是证明和正整数相关的不等式的最有效方法, 其证明的关键是如何实现从“n = k 时原不等式成立”(这个不等式不妨称之为“假设不等式”) 到“n = k + 1 时原不等式成立”(这个不等式不妨称之为“目标不等式”) 的过渡. 本文介绍用数学归纳法证明不等式的若干技巧和对策, 供大家参考.1 早用假设, 合理放缩要由“假设不等式”成立推证到“目标不等式”成立, 宜尽早使用“假设不等式”, 再利用辅助条件通过合理的放缩, 逐步向“目标不等式”逼近.例 1 (1990 年全国竞赛题) 设 a, b ∈(0, + ∞) 且 1a +1b = 1. 求证: 对于任何 n∈ N3 , 有(a + b) n -an -bn ≥ 22n -2n+ 1 成立.证明 ① n = 1 时, 原不等式显然成立;② 设 n = k 时原不等式成立, 即(a + b) k-ak -bk ≥ 22k -2k+ 1, 则 n = k + 1 时,(a + b) k+ 1 -ak+ 1 -bk+ 1= (a + b) [ (a + b) k -ak -bk ] + abk +akb≥ (a + b) (22k -2k+ 1) + abk + akb,由 1 =1a +1b ≥2ab, 可得ab ≥ 4, a + b ≥ 2ab ≥ 4,∴abk + akb ≥ 2ak+ 1bk+ 1 ≥ 2 (4)k+ 12 =2k+ 2,∴(a +b) k+ 1 -ak+ 1 -bk+ 1 ≥ (a +b) (22k -2k+ 1) + abk + akb≥4 (22k -2k+ 1) +2k+ 2 = 22 (k+ 1) -2(k+ 1) + 1, 即 n = k + 1 时原不等式成立.由 ①, ② 可知对于任何 n ∈ N3 原不等式成立.评注 ① 得到(a + b) [ (a + b) k -ak -bk ], 是过渡成功的一半.② 问题化归为求关于 a, b 的二元函数在条件 1a +1b = 1 下的最小值问题后, 若注意到原不等式“= ”成立条件为 a = b = 2, 则容易想到上述放缩过程.2 先斩后奏, 强行过渡先通过对“假设不等式”的等价变形得到一个其中一边和“目标不等式”完全一样的不等式后, 对另一边的变形可先把“目标不等式”的另一边强行写上, 然后再解决遗留的“尾巴”问题, 这种“先斩后奏”的方法也不失为实现过渡的好方法.例 2 设 n ∈ N3 且 n ≥ 2, 求证: 1 +12+13+ ⋯ +1n>n 恒成立.证明 ①n = 2 时, 左边 = 1 +22>2 = 右边, 原不等式成立;② 设 n = k (k ≥ 2) 时原不等式成立, 即1 +12+13+ ⋯ +1k>k , 则 1+12+13+ ⋯ +1k+1...