高中数学 第1章 导数及其应用 1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（二）学案 新人教A版选修2-2-新人教A版高二选修2-2数学学案

1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)学 习 目 标核 心 素 养1．了解复合函数的概念(易混点)．2．理解复合函数的求导法则，并能求简单的复合函数的导数(重点、易错点).1．通过复合函数求导公式的学习，培养学生的数学抽象、逻辑推理的核心素养．2．借助复合函数求导及导数运算法则的综合应用，提升学生的数学运算的核心素养.1．复合函数的概念一般地，对于两个函数 y＝f(u)和 u＝g(x)，如果通过变量 u，y 可以表示成 x 的函数，那么称这个函数为函数 y＝f(u)和 u＝g(x)的复合函数，记作 y ＝ f ( g ( x )) ．思考：函数 y＝log2(x＋1)是由哪些函数复合而成的？[提示] 函数 y＝log2(x＋1)是由 y＝log2u 及 u＝x＋1 两个函数复合而成的．2．复合函数的求导法则复合函数 y＝f(g(x))的导数和函数 y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为 y′x＝y ′ u· u ′x，即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积 ．1．已知函数 f(x)＝cos x＋ln x，则 f′(1)的值为( )A．1－sin 1 B．1＋sin 1C．sin 1－1 D．－sin 1A [因为 f′(x)＝－sin x＋，所以 f′(1)＝－sin 1＋＝1－sin 1.故选 A.]2．函数 y＝sin x·cos x 的导数是( )A．y′＝cos2x＋sin2x B．y′＝cos2x－sin2xC．y′＝2cosx·sinx D．y′＝cosx·sinxB [y′＝(sin x·cos x)′＝cos x·cos x＋sin x·(－sin x)＝cos2x－sin2x.]3．函数 y＝的导数是( )A. B.C．－ D．－C [ y＝，∴y′＝－2××(3x－1)′＝－.]4．函数 y＝是由________三个函数复合而成的．[答案] y＝，u＝v2＋1，v＝sin x复合函数的导数【例 1】 求下列函数的导数．(1)y＝e2x＋1；(2)y＝；(3)y＝5log2(1－x)；(4)y＝sin3x＋sin 3x.[解] (1)函数 y＝e2x＋1可看作函数 y＝eu和 u＝2x＋1 的复合函数，∴y′x＝y′u·ux′＝(eu)′(2x＋1)′＝2eu＝2e2x＋1.(2)函数 y＝可看作函数 y＝u－3和 u＝2x－1 的复合函数，∴y′x＝y′u·ux′＝(u－3)′(2x－1)′＝－6u－4＝－6(2x－1)－4＝－.(3)函数 y＝5log2(1－x)可看作函数 y＝5log2u 和 u＝1－x 的复合函数，∴y′x＝y′u·u′x＝(5log2u)′·(1－x)′＝＝.(4)函数 y＝sin3x 可看作函数 y＝u3和 u＝sin x 的复合函数，函数 y＝sin 3x 可看作函数 y＝sin v 和 v＝3x 的复合函数．∴y′x＝(u3)′·(sin x)′＋(sin v)′·(3x)′＝3u...