高中数学 第1章 导数及其应用 1.3 导数在研究函数中的应用 1.3.1 单调性学案 苏教版选修2-2-苏教版高二选修2-2数学学案

1．3.1 单调性 1.结合实例，直观探索并掌握函数的单调性与导数的关系． 2.能利用导数研究函数的单调性，并能够利用单调性证明一些简单的不等式． 3.会用导数法求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)．1．导数与函数的单调性一般地，在某区间上函数 y＝f(x)的单调性与导数有如下关系：导数函数的单调性f′(x)>0单调递增f′(x)<0单调递减f′(x)＝0常数函数上述结论可以用下图直观表示．2．一般地，可导函数 y＝f(x)在区间(a，b)内是增(减)函数的充要条件是：对任意的x∈(a，b)，都有 f′(x)≥0(f′(x)≤0)，且 f′(x)在(a，b)的任何子区间内都不恒等于0.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)如果函数 y＝f(x)在区间(a，b)内每一点都有导数，则该函数在区间(a，b)内可导．( )(2)任何一个函数在定义域或它的一个区间(a，b)上都是可导函数．( )(3)如果函数 y＝f(x)在区间(a，b)上都有 f′(x)＞0，那么 f(x)在区间(a，b)内单调递增．( )(4)如果函数 y＝f(x)在区间(a，b)上单调递增，那么它在区间(a，b)上都有 f′(x)＞0.( )答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)×2．函数 f(x)＝2x2－x 的单调递增区间是( )A． B．C． D．答案：A3．函数 f(x)＝ln x－ax(a>0)的单调增区间为________；单调减区间为________．解析：f(x)的定义域为(0，＋∞)．因为 f′(x)＝－a(a＞0)，所以由 f′(x)＞0⇒0＜x＜，由 f′(x)＜0 解得 x＞，所以 f(x)在上单调递增，在上单调递减．答案： 4．f′(x)是函数 y＝f(x)的导函数，若 y＝f′(x)的图象如图所示，则函数 y＝f(x)的图象可能是________．(填图象对应的序号)解析：由导函数图象知，当 x<0 时，f′(x)>0，所以 f(x)在(－∞，0)上单调递增，排除①③.当 02 时，f′(x)>0，所以 f(x)在(2，＋∞)上单调递增．因此只有④符合．答案：④ 求函数的单调区间 求下列函数的单调区间：(1)f(x)＝x3－x；(2)f(x)＝3x2－2ln x.【解】 (1)函数的定义域为 R，f′(x)＝3x2－1＝(x＋1)(x－1)，令 f′(x)>0 得 x>或 x<－，令 f′(x)<0 得－0，即 2·>0，解得－.又因为 x>0，所以 x>；令 f′(x)<0，即 2·<0.解得 x<－或 00，所以 0