高中数学 第1章 导数及其应用 1.3 导数在研究函数中的应用 1.3.3 最大值与最小值学案 苏教版选修2-2-苏教版高二选修2-2数学学案

1．3.3 最大值与最小值 1.理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系． 2.掌握并会用导数求某定义域上函数的最值．1．函数 f(x)在闭区间[a，b]上的最值如果在区间[a，b]上函数 y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，则该函数在[a，b]上一定能够取得最大值和最小值，并且函数的最值必在极值或端点值取得．2．函数最值的求法求函数 f(x)在[a，b]上的最值可分两种情况进行：(1)当函数 f(x)单调时：若函数 y＝f(x)在[a，b]上单调递增，则 f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数 y＝f(x)在[a，b]上单调递减，则 f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．(2)当函数 f(x)不单调时：① 求 y＝f(x)在(a，b)内的极值；② 将 y＝f(x)的各极值与 f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)定义在闭区间[a，b]上的连续函数 f(x)一定有最大值和最小值．( )(2)定义在开区间(a，b)上的函数 f(x)没有最大值．( )(3)函数的所有极小值中最小的一个就是最小值．( )答案：(1)√ (2)× (3)×2．函数 f(x)＝2x－cos x 在(－∞，＋∞)上( )A．无最值 B．有极值C．有最大值 D．有最小值答案：A3．函数 y＝x3－3x＋3 在区间[－3，3]上的最小值为( )A．1B．5 C．21D．－15答案：D4．函数 f(x)＝的最大值为________．答案： 求函数的最值 求下列函数的最值：(1)f(x)＝x＋sin x，x∈[0，2π]；(2)f(x)＝－x3＋2x2－3x，x∈[0，4]．【解】 (1)f′(x)＝＋cos x.令 f′(x)＝0，解得 x＝π 或 x＝π.当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表：x0ππ2πf′(x)＋0－0＋f(x)0＋π－π所以当 x＝0 时，f(x)有最小值 f(0)＝0；当 x＝2π 时，f(x)有最大值 f(2π)＝π.(2)f′(x)＝－x2＋4x－3＝－(x－3)(x－1)，由 f′(x)＝0，解得 x＝1 或 x＝3.列表：x0(0，1)1(1，3)3(3，4)4f′(x)－0＋0－f(x)0－0－由上表可知，函数在区间[0，4]上的最大值是 0，最小值是－.若函数 f(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)上可导，则 f(x)在[a，b]上必有最大值和最小值，其最值一定在极值点处或区间端点处取得，因此在求闭区间[a，b]上连续，开区间(a，b)内可导的函数的最值时，可将过程简化，即不用判断导数为零的点是极大值点还是极小值点，直接将极值点与端点的函数值进行比较，就可判定最大(小)的函数值．对于开区间(a，b)内可导的...