高中数学 第1章 导数及其应用 1.3.1 函数的单调性与导数学案 新人教A版选修2-2-新人教A版高二选修2-2数学学案

1.3.1 函数的单调性与导数学 习 目 标核 心 素 养1．理解导数与函数的单调性的关系．(易混点)2．掌握利用导数判断函数单调性的方法．(重点)3．会用导数求函数的单调区间．(重点、难点)1．通过函数的单调性与其导数正负关系的学习，培养学生的逻辑推理、直观想象的核心素养．2．借助利用导数研究函数的单调性问题，提升学生的数学运算及逻辑推理的核心素养.1．函数的单调性与其导数正负的关系定义在区间(a，b)内的函数 y＝f(x)：f′(x)的正负f(x)的单调性f′(x)＞0单调递增f′(x)＜0单调递减思考：如果在某个区间内恒有 f′(x)＝0，那么函数 f(x)有什么特性？[提示] f(x)是常数函数．2．函数图象的变化趋势与导数值大小的关系一般地，设函数 y＝f(x)，在区间(a，b)上：导数的绝对值函数值变化函数的图象越大快比较“陡峭”(向上或向下)越小慢比较“平缓”(向上或向下)1．函数 f(x)＝2x－sin x 在(－∞，＋∞)上是( )A．增函数 B．减函数C．先增后减 D．不确定A [ f(x)＝2x－sin x，∴f′(x)＝2－cos x＞0 在(－∞，＋∞)上恒成立，∴f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数．]2．函数 y＝f(x)的图象如图所示，则导函数 y＝f′(x)的图象可能是( )D [ 函数 f(x)在(0，＋∞)，(－∞，0)上都是减函数，∴当 x＞0 时，f′(x)＜0，当 x＜0 时，f′(x)＜0.]3．函数 f(x)＝ex－x 的单调递增区间为________．(0，＋∞) [ f(x)＝ex－x，∴f′(x)＝ex－1.由 f′(x)＞0 得，ex－1＞0，即 x＞0.∴f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)．]函数与导函数图象间的关系【例 1】 (1)设函数 f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数 y＝f′(x)的图象可能为( )(2)已知 f′(x)是 f(x)的导函数，f′(x)的图象如图所示，则 f(x)的图象只可能是( )(1)D (2)D [(1)由函数的图象可知：当 x＜0 时，函数单调递增，导数始终为正；当 x＞0 时，函数先增后减再增，即导数先正后负再正，对照选项，应选 D.(2)从 f′(x)的图象可以看出，在区间内，导数单调递增；在区间内，导数单调递减．即函数 f(x)的图象在内越来越陡，在内越来越平缓，由此可知，只有选项 D 符合．]研究函数与导函数图象之间关系的方法研究一个函数的图象与其导函数图象之间的关系时，注意抓住各自的关键要素，对于原函数，要注意其图象在哪个区间内单调递增，在哪个区间内单调递减；而对于导函数，则应注意其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小...