第 2 课时 利用导数研究函数的最值 1.了解函数的最值与极值的区别和联系． 2.理解函数最值的概念． 3．掌握在指定区间上不超过三次的多项式函数的最大(小)值的求法．1．函数 f(x)在闭区间[a，b]上的最值如果在闭区间[a，b]上函数 y＝f(x)的图象是一条连续不间断的曲线，则该函数在[a，b]上一定能够取得最大值和最小值，若函数在(a，b)上是可导的，该函数的最值必在极值点或区间端点处取得．2．求可导函数 y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤(1)求 f(x)在开区间(a，b)内所有极值点．(2)计算函数 f(x)在极值点和端点的函数值，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数的最大值不一定是函数的极大值．( )(2)函数 f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值一定在区间端点处取得．( )(3)有极值的函数一定有最值，有最值的函数不一定有极值．( )答案：(1)√ (2)× (3)×2．函数 f(x)＝2x－cos x 在(－∞，＋∞)上( )A．无最值 B．有极值C．有最大值 D．有最小值答案：A3．函数 y＝x3－3x＋3 在区间[－3，3]上的最小值为( )A．1 B．5C．21 D．－15答案：D4．函数 f(x)＝的最大值为________．答案：1 求函数的最值 求下列函数的最值：(1)f(x)＝sin x－x(－≤x≤)；(2)f(x)＝4x3＋3x2－36x＋5，x∈[－2，＋∞)．[解] (1)f′(x)＝cosx－1，令 f′(x)＝0，得 x＝0，所以 f(0)＝0－0＝0，f(－)＝－1＋，f()＝1－，所以 f(x)max＝－1，f(x)min＝1－.(2)f′(x)＝12x2＋6x－36，令 f′(x)＝0，得 x1＝－2，x2＝，f′(x)，f(x)随 x 的变化情况如下表：x－2(－2，)(，＋∞)f′(x)0－0＋f(x)57－由于当 x>时，f′(x)>0，所以 f(x)在(，＋∞)上为增函数，因此，函数 f(x)在[－2，＋∞)上只有最小值－，无最大值．求函数最值的四个步骤第一步，求函数的定义域．第二步：求 f′(x)，解方程 f′(x)＝0.第三步：列出关于 x，f(x)，f′(x)的变化表．第四步：求极值、端点处的函数值，确定最值． 已知函数 f(x)＝2x3＋3x2－12x＋3.(1)求 f(x)的单调区间；(2)求 f(x)在[－3，3]上的最值．解：(1)f′(x)＝6(x＋2)(x－1)，由 f′(x)>0，得 x<－2 或 x>1，由 f′(x)<0 得－2
