章末分层突破[自我校对]① 导数及其应用 ②导数的运算③ 曲线的切线斜率 ④导数的四则运算 ⑤函数的单调性 ⑥曲线的切线 ⑦最优化问题 ⑧曲边梯形的面积 ⑨微积分基本定理的应用 导数的几何意义及其应用利用导数的几何意义求切线方程时关键是搞清所给的点是不是切点，常见的类型有两种，一是求“在某点处的切线方程”，则此点一定为切点，先求导，再求斜率代入直线方程即可得；另一类是求“过某点的切线方程”，这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为Q(x1，y1)，则切线方程为 y－y1＝f′(x1)(x－x1)，再由切线过点 P(x0，y0)得y0－y1＝f′(x1)(x0－x1)，①又 y1＝f(x1)，②由①②求出 x1，y1的值，即求出了过点 P(x0，y0)的切线方程． (1)曲线 y＝xex－1在点(1,1)处切线的斜率等于( )A．2e B．e1C．2D．1(2)已知函数 y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数 y＝f′(x)的图象如图11 所示，则该函数的图象是( ) 【导学号：05410035】图 11【精彩点拨】 (1)曲线在点(1,1)处的切线斜率即为该点处的导数．(2)由导数值的大小变化，确定原函数的变化情况，从而得出结论．【规范解答】 (1)y′＝ex－1＋xex－1＝(x＋1)ex－1，故曲线在点(1,1)处的切线斜率为 k＝2.(2)从导函数的图象可以看出，导函数值先增大后减小，x＝0 时最大，所以函数 f(x)的图象的变化率也先增大后减小，在 x＝0 时变化率最大．A 项，在 x＝0 时变化率最小，故错误；C 项，变化率是越来越大的，故错误；D 项，变化率是越来越小的，故错误；B 项正确．【答案】 (1)C (2)B[再练一题]1．已知曲线 y＝x3＋.(1)求曲线在点 P(2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点 P(2,4)的切线方程；(3)求斜率为 4 的曲线的切线方程．【解】 (1) P(2,4)在曲线 y＝x3＋上，且 y′＝x2，∴在点 P(2,4)处的切线的斜率 k＝4.∴曲线在点 P(2,4)处的切线方程为 y－4＝4(x－2)，即 4x－y－4＝0.(2)设曲线 y＝x3＋与过点 P(2,4)的切线相切于点 A，则切线的斜率 k＝x.∴切线方程为 y－＝x(x－x0)，即 y＝x·x－x＋. 点 P(2,4)在切线上，∴4＝2x－x＋，即 x－3x＋4＝0，∴x＋x－4x＋4＝0.∴x(x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0，∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得 x0＝－1 或 x0＝2，故所求的切线方程为 4x－y－4＝0 或 x－y＋2＝0.(3)设切点为(x0，y0)，2则切线的斜率 k＝x＝4，∴x0＝±2.∴切点为(2,4)或.∴斜率为 4 的曲线的切线方程为 y－4＝4...
