高中数学 第2讲 证明不等式的基本方法 2 综合法与分析法学案 新人教A版选修4-5-新人教A版高二选修4-5数学学案

二 综合法与分析法学习目标：1.了解综合法与分析法证明不等式的思考过程与特点．(重点)2.会用综合法、分析法证明简单的不等式．(难点)教材整理 1 综合法阅读教材 P23～P23“例 2”，完成下列问题．一般地，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫做综合法，又叫顺推证法或由因导果法．设 a，b∈R＋，A＝＋，B＝，则 A，B 的大小关系是( )A．A≥B B．A≤BC．A＞B D．A＜BC [A2＝(＋)2＝a＋2＋b，B2＝a＋b，所以 A2＞B2.又 A＞0，B＞0，所以 A＞B.]教材整理 2 分析法阅读教材 P24～P25“习题”以上部分，完成下列问题．证明命题时，我们还常常从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立，这种证明方法叫做分析法，这是一种执果索因的思考和证明方法．设 a＝，b＝－，c＝－，那么 a，b，c 的大小关系是( )A．a＞b＞c B．a＞c＞bC．b＞a＞c D．b＞c＞aB [由已知，可得出 a＝，b＝，c＝， ＋＞＋＞2，∴b＜c＜a.]用综合法证明不等式【例 1】 已知 a，b，c 是正数，求证：≥abc.[精彩点拨] 由 a，b，c 是正数，联想去分母，转化证明 b2c2＋c2a2＋a2b2≥abc(a＋b＋c)，利用 x2＋y2≥2xy 可证．或将原不等式变形为＋＋≥a＋b＋c 后，再进行证明．[自主解答] 法一 a，b，c 是正数，∴b2c2＋c2a2≥2abc2，b2c2＋a2b2≥2ab2c，c2a2＋a2b2≥2a2bc，∴2(b2c2＋c2a2＋a2b2)≥2(abc2＋ab2c＋a2bc)，即 b2c2＋c2a2＋a2b2≥abc(a＋b＋c)．又 a＋b＋c＞0，∴≥abc.1法二 a，b，c 是正数，∴＋≥2＝2c.同理＋≥2a，＋≥2b，∴2≥2(a＋b＋c)．又 a＞0, b＞0，c＞0，∴b2c2＋a2c2＋a2b2≥abc(a＋b＋c)．故≥abc.1．综合法证明不等式，揭示出条件和结论之间的因果联系，为此要着力分析已知与求证之间、不等式的左右两端之间的差异与联系，合理进行转换，恰当选择已知不等式(切入点)，这是证明的关键．2．综合法证明不等式的主要依据：(1)不等式的基本性质；(2)基本不等式及其变形；(3)三个正数的算术几何平均不等式等．1．已知 a＞0，b＞0，c＞0，且 abc＝2.求证：(1＋a)(1＋b)(1＋c)＞8.[证明] a＞0，b＞0，c＞0，∴1＋a≥2，当且仅当 a＝1 时，取等号，1＋b≥2，当且仅当 b＝1 时，取等号，1＋c≥2，当且仅当 c＝1 时，取等...