三 反证法与放缩法学习目标：1.掌握用反证法证明不等式的方法．(重点)2.了解放缩法证明不等式的原理，并会用其证明不等式．(难点、易错易混点)教材整理 1 反证法阅读教材 P26～P27“例 2”及以上部分，完成下列问题．先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，我们把这种证明问题的方法称为反证法．如果两个正整数之积为偶数，则这两个数( )A．两个都是偶数B．一个是奇数，一个是偶数C．至少一个是偶数D．恰有一个是偶数C [假设这两个数都是奇数，则这两个数的积也是奇数，这与已知矛盾，所以这两个数至少有一个为偶数．]教材整理 2 放缩法阅读教材 P28～P29“习题”以上部分，完成下列问题．证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法．若|a－c|＜h，|b－c|＜h，则下列不等式一定成立的是( )A．|a－b|＜2h B．|a－b|＞2hC．|a－b|＜h D．|a－b|＞hA [|a－b|＝|(a－c)－(b－c)|≤|a－c|＋|b－c|＜2h.]利用反证法证“至多”“至少”型命题【例 1】 已知 f(x)＝x2＋px＋q，求证：(1)f(1)＋f(3)－2f(2)＝2；(2)|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于.[精彩点拨] (1)把 f(1)，f(2)，f(3)代入函数 f(x)求值推算可得结论．(2)假设结论不成立，推出矛盾，得结论．[自主解答] (1)由于 f(x)＝x2＋px＋q，∴f(1)＋f(3)－2f(2)＝(1＋p＋q)＋(9＋3p＋q)－2(4＋2p＋q)＝2.(2)假设|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|都小于，则有|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|＜2.(*)又|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|≥f(1)＋f(3)－2f(2)1＝(1＋p＋q)＋(9＋3p＋q)－(8＋4p＋2q)＝2，∴|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|≥2 与(*)矛盾，∴假设不成立．故|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于.1．在证明中含有“至多”“至少”等字眼时，常使用反证法证明．在证明中出现自相矛盾，说明假设不成立．2．在用反证法证明的过程中，由于作出了与结论相反的假设，相当于增加了题设条件，因此在证明过程中必须使用这个增加的条件，否则将无法推出矛盾．1．已知实数 a，b，c，d 满足 a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd＞1.求证：a，b，c，d 中至多有三个是非负数．[证明] a，b，c，d 中至多有三个是非负数，即至少有一个是负数，故有假设 a，b...
