高中数学 第2讲 证明不等式的基本方法章末复习课学案 新人教A版选修4-5-新人教A版高二选修4-5数学学案

第 2 讲 证明不等式的基本方法[自我校对] ①作差法 ②综合法 ③执果索因 ④放缩法 ⑤间接证明比较法证明不等式比较法证明不等式的依据是：不等式的意义及实数大小与运算的关系．其主要步骤是：作差——恒等变形——判断差值的符号——结论．其中，变形是证明推理中的关键，变形的目的在于判断差的符号．【例 1】 设 a≥b＞0，求证：3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2.[自主解答] 3a3＋2b3－(3a2b＋2ab2)＝3a2(a－b)＋2b2(b－a)＝(a－b)(3a2－2b2)． a≥b＞0，∴a－b≥0,3a2－2b2≥2a2－2b2≥0，从而(3a2－2b2)(a－b)≥0，故 3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2成立．1．若 a＝，b＝，c＝，则( )A．a＜b＜c B．c＜b＜aC．c＜a＜b D．b＜a＜cC [a 与 b 比较：a＝＝，b＝＝. 9＞8，∴b＞a，b 与 c 比较：b＝＝，c＝＝. 35＞53，∴b＞c，a 与 c 比较：a＝＝，c＝. 32＞25，a＞c，∴b＞a＞c，故选 C.]综合法、分析法证明不等式分析法是“执果索因”，步步寻求上一步成立的充分条件，而综合法是“由因导果”逐步推导出不等式成立的必要条件，两者是对立统一的两种方法，一般来说，对于较复杂的不等式，直接用综合法往往不易入手．因此通常用分析法探索证题途径，然后用综合法加以证明，所以分析法和综合法可结合使用．【例 2】 已知实数 x，y，z 不全为零，求证：＋＋＞(x＋y＋z)．[自主解答] 因为＝ ≥ ＝≥x＋，同理可证：≥y＋，≥z＋.由于 x，y，z 不全为零，故上述三式中至少有一式取不到等号，1所以三式累加得：＋＋＞＋＋＝(x＋y＋z)，所以有＋＋＞(x＋y＋z)．2．设 a，b，c 均为大于 1 的正数，且 ab＝10.求证：logac＋logbc≥4lg c.[证明] 由于 a＞1，b＞1，故要证明 logac＋logbc≥4lg c，只要证明＋≥4lg c.又 c＞1，故 lg c＞0，所以只要证＋≥4，即≥4.因 ab＝10，故 lg a＋lg b＝1，只要证明≥4.(*)由 a＞1，b＞1，故 lg a＞0，lg b＞0，所以 0＜lg a·lg b≤＝＝，即(*)式成立．所以，原不等式 logac＋logbc≥4lg c 得证.反证法证明不等式若直接证明难以入手时，“正难则反”，可利用反证法加以证明；若要证明不等式两边差异较大时，可考虑用放缩法进行过渡从而达到证明目的．【例 3】 若 a，b，c，x，y，z 均为实数，且 a＝x2－2y＋，b＝y2－2z＋，c＝z2－2x＋，求证：a，b，c 中至少有一个大于 0.[自主解答] 设 a，b，c 都不大于 0，则 a≤0，b≤0，c≤0，∴a＋b＋c≤0，由题...