1.2.2 空间中的平面与空间向量学 习 目 标核 心 素 养1．理解平面的法向量的概念，会求平面的法向量．(重点)2．会用平面的法向量证明平行与垂直．(重点)3．理解并会应用三垂线定理及其逆定理证明有关垂直问题．(难点)1．通过本节知识的学习，培养数学抽象素养．2．借助向量法证明有关平行与垂直问题，提升逻辑推理、数学运算素养．如图，在直棱柱 ABCA1B1C1中，(1)与哪些棱平行的向量与平面 ABC 平行，这些向量是否两两互相平行？(2)与哪些棱平行的向量与平面 ABC 垂直，这些向量是否两两相互平行？空间中的直线根据它的方向向量和一个点，可以描述直线的位置，对于空间中的平面能否利用向量来描述其位置？ 1．平面的法向量(1)如果 α 是空间中的一个平面，n 是空间中的一个非零向量，且表示 n 的有向线段所在的直线与平面 α 垂直，则称 n 为平面 α 的一个法向量，此时也称 n 与平面 α 垂直，记作n⊥α．思考 1：平面 α 的法向量有多少个？它们之间什么关系？[提示] 无数个 平行思考 2：一个平面的法向量与此平面共面的所有向量间有什么关系？[提示] 垂直(2)平面的法向量的性质① 如果直线 l 垂直于平面 α，则直线 l 的任意一个方向向量都是平面 α 的一个法向量．② 如果 n 是平面 α 的一个法向量，则对任意的实数 λ≠0，空间向量 λn 也是平面 α的一个法向量，且平面 α 的任意两个法向量都平行．③ 如果 n 为平面 α 的一个法向量，A 为平面 α 上一个已知的点，则对于平面 α 上任意一点 B，向量AB一定与向量 n 垂直，即 n·AB＝0，从而可知平面 α 的位置可由 n 和 A 唯一确定．(3) 如 果 v 是 直 线 l 的 一 个 方 向 向 量 ， n 是 平 面 α 的 一 个 法 向 量 ， 则n∥v⇔l ⊥ α ，n⊥v⇔l ∥ α ，或 l ⊂ α ．(4) 如 果 n1 是 平 面 α1 的 一 个 法 向 量 ， n2 是 平 面 α2 的 一 个 法 向 量 ， 则n1⊥n2⇔α1⊥ α 2，n1∥n2⇔α1∥α2或 α1与 α2重合．2．三垂线定理及其逆定理(1)三垂线定理：如果平面内的一条直线与平面的一条斜线在该平面内的射影垂直，则它也和这条斜线垂直．(2)三垂线定理的逆定理：如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它也和这条斜线在该平面内的射影垂直．提醒：定理中的已知直线必须是已知平面内的直线．1．思考辨析(正确的打...
