第二课时 组合的综合应用有限制条件的组合问题[典例] 课外活动小组共 13 人， 其中男生 8 人， 女生 5 人， 并且男、女各指定一名队长， 现从中选 5 人主持某种活动， 依下列条件各有多少种选法？(1)只有一名女生；(2)两队长当选；(3)至少有一名队长当选；(4)至多有两名女生当选．[解] (1)一名女生，四名男生，故共有 C·C＝350(种)选法．(2)将两队长作为一类，其他 11 人作为一类，故共有 C·C＝165(种)选法．(3)至少有一名队长当选含有两类：有一名队长当选和两名队长都当选．故共有 C·C＋C·C＝825(种)选法．或采用间接法：C－C＝825(种)．(4)至多有两名女生含有三类：有两名女生，只有一名女生，没有女生．故共有 C·C＋C·C＋C＝966(种)选法．有限制条件的组合问题分类及解题策略有限制条件的抽(选)取问题， 主要有两类：一是“含”与“不含”问题， 其解法常用直接分步法， 即“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉再取， 分步计数；二是“至多”“至少”问题， 其解法常有两种解决思路：一是直接分类法， 但要注意分类要不重不漏；二是间接法， 注意找准对立面， 确保不重不漏． [活学活用]有 4 个不同的球， 4 个不同的盒子， 把球全部放入盒内．(1)恰有 1 个空盒，有几种放法？(2)恰有 2 个盒子不放球，有几种放法？解：(1)先从 4 个小球中取 2 个放在一起，有 C 种不同的取法，再把取出的 2 个小球与另外 2 个小球看成三堆，并分别放入 4 个盒子中的 3 个盒子里，有 A 种放法，根据分步乘法计数原理，共有 CA＝144(种)不同的放法．(2)恰有 2 个盒子不放球，也就是把 4 个不同的小球只放入 2 个盒子中．有两类放法：第一类，1 个盒子放 3 个小球，1 个盒子放 1 个小球，先把小球分组，有 C 种，再放到2 个盒子中有 A 种放法，共有 CA 种放法；第二类，2 个盒子中各放 2 个小球有 CC 种放法．故恰有 2 个盒子不放球的方法有 CA＋CC＝84(种)．几何中的组合问题[典例] 平面内有 12 个点，其中有 4 个点共线，此外再无任何 3 点共线．以这些点为顶点，可构成多少个不同的三角形？[解] 法一：以从共线的 4 个点中取点的多少作为分类的标准．第一类：共线的 4 个点中有 2 个点为三角形的顶点，共有 CC＝48 个不同的三角形；第二类：共线的 4 个点中有 1 个点为三角形的顶点，共有 CC＝112 个不同的三角形；第三类：共线的 ...
