一 二维形式的柯西不等式1．认识柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义．(难点)2．通过运用柯西不等式分析解决一些简单问题．(重点)[基础·初探]教材整理 二维形式的柯西不等式阅读教材 P31～P36，完成下列问题．内容等号成立的条件代数形式若 a，b，c，d 都是实数，则(a2＋b2)·(c2＋d2)≥( ac ＋ bd ) 2 当且仅当 ad ＝ bc 时，等号成立向量形式设 α，β 是两个向量，则|α·β|≤|α||β|当且仅当 β 是零向量，或存在实数k，使 α＝kβ 时，等号成立三角形式设 x1，y1，x2，y2∈R，那么＋≥当且仅当P1( x 1， y 1) ， P 2( x 2， y 2) ， O (0,0) 三点共 线且 P 1， P 2 在点 O 两旁 时，等号成立已知 x＋y＝1，那么 2x2＋3y2的最小值是( )A.B.C. D.【解析】 2x2＋3y2＝(2x2＋3y2)·≥＝(x＋y)2＝.【答案】 B[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问 1： 解惑： 疑问 2： 解惑： 疑问 3： 解惑： [小组合作型]二维柯西不等式的向量形式及应用1 已知 p，q 均为正数，且 p3＋q3＝2.求证：p＋q≤2.【精彩点拨】 为了利用柯西不等式的向量形式，可分别构造两个向量．【自主解答】 设 m＝p，q，n＝(p，q)，则p2＋q2＝pp＋qq＝|m·n|≤|m||n|＝·＝.又 (p＋q)2≤2(p2＋q2)，∴≤p2＋q2≤，∴≤·，则(p＋q)4≤8(p＋q)．又 p＋q>0，∴(p＋q)3≤8，故 p＋q≤2.使用二维柯西不等式的向量形式证明不等式，关键是合理构造出两个向量．同时，要注意向量模的计算公式|a|＝对数学式子变形的影响．[再练一题]1．若本例的条件中，把“p3＋q3＝2”改为“p2＋q2＝2”，试判断结论是否仍然成立？【解】 设 m＝(p，q)，n＝(1,1)，则 p＋q＝p·1＋q·1＝|m·n|≤|m|·|n|＝·.又 p2＋q2＝2.∴p＋q≤·＝2.故仍有结论 p＋q≤2 成立.运用柯西不等式求最值 若 2x＋3y＝1，求 4x2＋9y2的最小值．【精彩点拨】 由 2x＋3y＝1 以及 4x2＋9y2的形式，联系柯西不等式，可以通过构造(12＋12)作为一个因式而解决问题．【自主解答】 由柯西不等式得(4x2＋9y2)(12＋12)≥(2x＋3y)2＝1.∴4x2＋9y2≥，当且仅当 2x×1＝3y×1，即 x＝，y＝时取等号．∴4x2＋9y2的最小值为.1．利用柯西不等式求最值，不但要注意等号成立的条件，而且要善于配凑，保证出现常数结果．2．常用的配凑的技巧有：①巧拆常数；②重新安排某些项的次序；③适当添项；④适当...
