高中数学 第3讲 柯西不等式与排序不等式 3 排序不等式学案 新人教A版选修4-5-新人教A版高二选修4-5数学学案

三 排序不等式学习目标：1.了解排序不等式的数学思想和背景.2.理解排序不等式的结构与基本原理，会用排序不等式解决简单的不等式问题．(重点、难点)教材整理 1 顺序和、乱序和、反序和的概念阅读教材 P41～P42“探究”以上部分，完成下列问题．设 a1≤a2≤a3≤…≤an，b1≤b2≤b3≤…≤bn为两组实数，c1，c2，…，cn是 b1，b2，…，bn的任一排列，则称 ai与 bi(i＝1,2，…，n)的相同顺序相乘所得积的和 a1b1＋ a 2b2＋…＋ a nbn 为顺序和，和 a1c1＋ a 2c2＋…＋ a ncn 为乱序和，相反顺序相乘所得积的和 a1bn＋ a 2bn－1＋…＋ a nb1 称为反序和．教材整理 2 排序不等式阅读教材 P42～P44，完成下列问题．设 a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn为两组实数，c1，c2，…，cn是 b1，b2，…，bn的任一排列，则 a1bn＋ a 2bn－1＋…＋ a nb1≤a1c1＋ a 2c2＋…＋ a ncn≤a1b2＋ a 2b2＋…＋ a nbn，当且仅当 a1＝a2＝…＝an或 b1＝b2＝…＝bn时，反序和等于顺序和，此不等式简记为反序和≤乱序和≤顺序和.用排序不等式证明不等式(字母大小已定)【例 1】 已知 a，b，c 为正数，a≥b≥c，求证：(1)≥≥；(2)＋＋≥＋＋.[精彩点拨] 由于题目条件中已明确 a≥b≥c，故可以直接构造两个数组．[自主解答] (1) a≥b>0，于是≤.又 c>0，∴>0，从而≥，同理， b≥c>0，于是≤，∴a>0，∴>0，于是得≥，从而≥≥.(2)由(1)知≥≥>0 且 a≥b≥c>0，∴≥≥，a2≥b2≥c2.由排序不等式，顺序和≥乱序和得＋＋≥＋＋＝＋＋＝＋＋，故＋＋≥＋＋.利用排序不等式证明不等式的技巧在于仔细观察、分析所要证明的式子的结构，从而正确地构造出不等式中所需要的带有大小顺序的两个数组．1．本例题中条件不变，求证：＋＋≥＋＋.[证明] a≥b≥c≥0，∴a5≥b5≥c5，1≥≥＞0.∴≥≥，∴≥≥，由顺序和≥乱序和得＋＋≥＋＋＝＋＋，∴＋＋≥＋＋.字母大小顺序不定的不等式证明【例 2】 设 a，b，c 为正数，求证：＋＋≤＋＋.[精彩点拨] (1)题目涉及到与排序有关的不等式；(2)题目中没有给出 a，b，c 的大小顺序．解答本题时不妨先设定 a≤b≤c，再利用排序不等式加以证明．[自主解答] 不妨设 0