第 3 讲 圆锥曲线性质的探讨章末分层突破[自我校对]① 椭圆② 椭圆③ 抛物线④ 双曲线 平行射影与正射影正射影与平行射影的投影光线与投影方向都是平行的．因此，正射影也是平行射影，不同的是正射影的光线与投影面垂直．而平行射影的投影光线与投影面斜交．平面图形的正射影与原投影面积大小相等．而一般平行射影的面积要小于原投影图形的面积． 已知△ABC 的边 BC 在平面 α 内，A 在平面 α 上的射影为 A′(A′不在边 BC上)．当∠BAC＝60°时，AB，AC 与平面 α 所成的角分别是 30°和 45°，求 cos∠BA′C. 【精彩点拨】 点在平面上的射影仍然是点，解决此题的关键是正确找出点 A′，找出AB，AC 与 α 所成的角，再结合余弦定理求解．【规范解答】 由题意，∠ABA′＝30°，∠ACA′＝45°.设 AA′＝1，则 A′B＝，A′C＝1，AC＝，AB＝2，∴BC＝＝，cos∠BA′C＝＝.[再练一题]1．设四面体 ABCD 各棱长均相等，E，F 分别为 AC，AD 的中点，如图 31，则△BEF 在该四面体的平面 ABC 上的射影是下列中的( )图 311【解析】 由于 BE＝BF，所以△BEF 为等腰三角形，故 F 点在平面 ABC 上的正射影不在 AC上而在△ABC 内部，又由于 EF 与 CD 平行，而 CD 与平面 ABC 不垂直，所以 F 点在平面 ABC 上的正射影不在直线 BE 上，从而只有 B 图形成立．【答案】 B 平面与圆柱面的截线 平面与圆柱面的截线是椭圆，利用 Dandelin 双球确定椭圆的焦点，然后利用椭圆的定义判定曲线的形状．平面与圆柱面的截线其实质是切线长定理在空间中的推广(从球外一点引球的切线，切线长都相等)． 如图 32，在圆柱 O1O2内嵌入双球，使它们与圆柱面相切，切线分别为⊙O1和⊙O2，并且和圆柱的斜截面相切，切点分别为 F1，F2.图 32求证：斜截面与圆柱面的截线是以 F1，F2为焦点的椭圆． 【精彩点拨】 证明曲线的形状是椭圆，利用椭圆的定义(平面上到两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹)来证明．【规范解答】 如图，设点 P 为曲线上任一点，连接 PF1，PF2，则 PF1，PF2分别是两个球面的切线，切点为 F1，F2，过 P 作母线，与两球面分别相交于 K1，K2，则 PK1，PK2分别是两球面的切线，切点为 K1，K2.根据切线长定理的空间推广，知 PF1＝PK1，PF2＝PK2，所以 PF1＋PF2＝PK1＋PK2＝K1K2.由于 K1K2为定值，故点 P 的轨迹是以 F1，F2为焦点的椭圆．[再练一题]2．已知一平面垂...
