高中数学 第3章 空间向量与立体几何 3.1 空间向量及其运算 3.1.2 空间向量的基本定理学案 新人教B版选修2-1-新人教B版高二选修2-1数学学案

3．1.2 空间向量的基本定理 1.了解共线向量的概念、向量与平面平行的意义． 2.理解共线向量定理、共面向量定理、空间向量分解定理． 3．会用适当的基底表示其他向量．1．共线向量定理两个空间向量 a，b(b ≠0 )，a∥b 的充要条件是存在唯一的实数 x，使 a ＝ x b ．2．共面向量定理3．空间向量分解定理如果三个向量 a，b，c 不共面，那么对空间任一向量 p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使 p＝p ＝ x a ＋ y b ＋ z c ，这时 a，b，c 叫做空间的一个基底，记作{a，b，c}，其中 a，b，c都叫做基向量．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)实数与向量之间可进行加法、减法运算．( )(2)若表示两向量的有向线段所在的直线为异面直线，则这两个向量不是共面向量．( )(3)若 a∥b，则存在惟一的实数 λ，使 a＝λb.( )(4)空间中任意三个向量一定是共面向量．( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)×2．已知 λ∈R，则下列命题正确的是( )A．|λa|＝λ|a|B．|λa|＝|λ|aC．|λa|＝|λ||a|D．|λa|＞0答案：C3．若 e1，e2不共线，则下列各组中的两个向量 a，b 共线的是( )A．a＝e1－e2，b＝e1＋e2B．a＝e1－e2，b＝2e1－3e2C．a＝e1－e2，b＝2e1－3e2D．a＝e1＋e2，b＝e1－e21答案：C4．空间的任意三个向量 a，b，3a－2b，它们一定是( )A．共线向量B．共面向量C．不共面向量D．既不共线也不共面向量答案：B 共线向量的判定 如图，在平行六面体 ABCDA1B1C1D1中，M，N 分别是 C1D1，AB 的中点，E 在 AA1上且 AE＝2EA1，F 在 CC1上且 CF＝FC1，判断ME与NF是否共线？【解】 由已知可得，ME＝MD1＋D1A1＋A1E＝BA＋CB＋A1A＝－NB＋CB＋C1C＝CN＋FC＝FN＝－NF.所以ME＝－NF，故ME与NF共线． 在本例中，若 M、N 分别为 AD1，BD 的中点，证明MN与D1C共线．证明：连接 AC，则 N∈AC 且 N 为 AC 的中点，所以AN＝AC，由已知得AM＝AD1，所以MN＝AN－AM＝AC－AD1＝D1C.所以MN与D1C共线．判断向量 a，b 共线的方法有两种2(1)定义法即证明 a∥b，先证明 a，b 所在基线平行或重合．(2)利用“a＝xb⇒a∥b”判断a，b 是空间图形中的有向线段，利用空间向量的运算性质，结合具体图形，化简得出 a＝xb，从而得 a∥b，即 a 与 b 共线． 如图所示，ABCD、ABEF 都是平行四边形，且不共面，M、N 分别是 AC、BF 的中点，判断CE与MN是否共线？解：因为MN＝MC＋CB＋BN＝AC－BC＋BF...