3．1.3 两个向量的数量积 1.了解空间向量的夹角、两条异面直线所成的角的概念． 2.理解两个向量数量积的概念． 3．掌握数量积的运算及应用．1．两个向量的夹角2．异面直线3．两个向量的数量积(或内积)1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若 a·b＝0，则 a＝0 或 b＝0.( )(2)对于非零向量 a，b，〈a，b〉与〈a，－b〉相等．( )(3)若 a·b＝b·c，且 b≠0，则 a＝c.( )(4)若 a，b 均为非零向量，则 a·b＝|a||b|是 a 与 b 共线的充要条件．( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)×2．在如图所示的正方体中，下列各对向量的夹角为 45°的是( )1A．AB与A′C′ B．AB与C′A′C．AB与A′D′ D．AB与B′A′答案：A3．已知向量 a，b 满足|a|＝1，且 a·b＝2，a 与 b 的夹角为，则|b|＝________．答案：44．已知|a|＝3，|b|＝2，a·b＝－3，则〈a，b〉＝________．答案： 向量的数量积的概念与性质 下列命题是否正确？正确的给出证明，不正确的给出理由．(1)a·b＝0，则 a＝0 或 b＝0；(2)p2·q2＝(p·q)2；(3)|p＋q||p－q|＝|p2－q2|；(4)若 a 与(a·b)·c－(a·c)·b 均不为 0，则它们垂直．【解】 (1)此命题不正确．因为 a·b＝0 有两种情况：① 当 a，b 均不为零向量时，则 a 与 b 垂直，此时 a·b＝0；② 当 a 与 b 至少有一个为 0 向量时，a·b＝0 也成立，故由 a·b＝0，推不出 a＝0 或 b＝0.(2)此命题不正确．因为 p2·q2＝|p|2|q|2，而(p·q)2＝(|p||q|cos〈p，q〉)2＝|p|2|q|2cos2〈p，q〉，所以当且仅当 p∥q 时，p2·q2＝(p·q)2.(3)此命题不正确．因为|p2－q2|＝|(p＋q)·(p－q)|＝|p＋q||p－q||cos〈p＋q，p－q〉|，当且仅当(p＋q)∥(p－q)时，|p2－q2|＝|p＋q||p－q|.(4)正确．因为 a·[(a·b)·c－(a·c)·b]＝a·(a·b)·c－a·(a·c)·b＝(a·b)(a·c)－(a·b)(a·c)＝0，因为两向量均为非零向量，故 a 与(a·b)·c－(a·c)·b 垂直．2关于向量数量积的概念题，弄清其实质是关键，两个向量的数量积是一个数量，它等于两向量模与其夹角余弦值的乘积，两向量数量积有正也有负也可为 0.当两向量垂直时其数量积为零． 下列结论中，正确的是( )A．(a·b)·c＝a·(b·c)B．若 a·b＝|a||b|，则 a、b 共线C．非零向量 a、b、c，若 a·c＝b·c，则 a＝bD．若|a|2＝|b|2，则 a＝b解析：选 B．A 中内积不满足结合律，C 中数量积不满足消去律，D 只能得...
