3．1.4 空间向量的直角坐标运算 1.了解空间向量坐标的定义． 2.理解空间向量平行和垂直坐标所满足的条件．3．掌握空间向量的直角坐标运算及应用．1．空间向量的直角坐标运算(1)建立空间直角坐标系 Oxyz，分别沿 x 轴，y 轴，z 轴的正方向引单位向量 i，j，k，这三个互相垂直的单位向量构成空间向量的一个基底{i，j，k}，这个基底叫做单位正交基底．单位向量 i，j，k 都叫做坐标向量．(2)在空间直角坐标系中，已知任一向量 a，根据空间向量分解定理，存在唯一实数组(a1，a2，a3)，使 a＝a1i＋a2j＋a3k，a1i、a2j、a3k 分别为向量 a 在 i、j、k 方向上的分向量，有序实数组(a1，a2，a3)叫做向量 a 在此直角坐标系中的坐标．上式可简记作 a＝( a 1， a 2， a 3)．(3)设 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，a＋b＝( a 1＋ b 1， a 2＋ b 2， a 3＋ b 3)；a－b＝( a 1－ b 1， a 2－ b 2， a 3－ b 3)；λa＝( λa 1， λ a 2， λ a 3)；a·b＝a1b1＋ a 2b2＋ a 3b3．(4)一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减起点的坐标．2．空间向量平行和垂直的条件a∥b(b≠0)⇔．a∥b⇔＝＝．a⊥b⇔a1b1＋ a 2b2＋ a 3b3＝ 0 ．3．两个向量夹角与向量长度的坐标计算公式(1)设 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则|a|＝＝.cos〈a，b〉＝＝ .(2)设 A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2), 则|AB|＝.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)空间向量 a＝(1，1，1)的长度为 1.( )(2)若向量 a·b＝0，则向量 a 与向量 b 垂直．( )(3)设 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则 a∥b⇔＝＝.( )(4)任给向量 a，b，都有 a·b≤|a||b|.( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)√2．向量 a＝(1，2，3)，b＝(1，1，1)，则 a＋b 等于( )A．(2，3，4) B．(0，1，2)C．(2，3，5) D．(2，4，3)答案：A3．已知 i，j，k 是空间直角坐标系 Oxyz 中 x 轴，y 轴，z 轴正方向上的单位向量，且向量 p＝i－3j＋k，则 p 的坐标为________．1答案：4．设 a＝(1，2，3)，b＝(1，－1，x)，a⊥b，则 x＝________.解析：因为 a⊥b，所以 a·b＝1－2＋3x＝0，所以 x＝.答案：5．若 A(2，0，1)，B(3，4，－2)，则|AB|＝________．解析：|AB|＝＝.答案： 空间向量的坐标运算 (1)已知 a＝(2，－1，－2)，b＝(0，－1，4)，求 a＋b，a－b，a·b，(2a)·...
