3.1.3 两个向量的数量积学 习 目 标核 心 素 养1.掌握空间向量夹角概念及表示方法.2.掌握两个向量的数量积的概念、性质、计算方法及运算律．(重点)3.掌握两个向量数量积的主要用途，能运用数量积求向量夹角和判断向量的共线与垂直．(难点、易混点)1.通过两向量的数量积的学习，培养学生的数学运算素养.2.借助于求两向量的夹角、模及判断两向量垂直，提升学生的逻辑推理素养.1．空间向量的夹角如果〈a，b〉＝90°，那么向量 a，b 互相垂直，记作 a ⊥ b . 思考：等边△ABC 中，AB与BC的夹角是多少？[提示] 120°2．两个向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量 a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做 a，b 的数量积(或内积)，记作a·b.(2)数量积的运算律数乘向量与向量数量积的结合律(λa)·b＝λ ( a·b ) 交换律a·b＝b·a分配律(a＋b)·c＝a·c ＋ b·c 3．两个向量的数量积的性质两个 ① 若 a，b 是非零向量，则 a⊥b⇔a·b ＝ 0 1向量数量积的性质② 若 a 与 b 同向，则 a·b＝| a|·|b | ；若反向，则 a·b＝－ | a|·|b |. 特别地，a·a＝| a | 2 或|a|＝③ 若 θ 为 a，b 的夹角，则 cos θ＝④|a·b|≤|a|·|b|1．下列命题中正确的是( )A．(a·b)2＝a2·b2B．|a·b|≤|a||b|C．(a·b)·c＝a·(b·c)D．若 a⊥(b－c)，则 a·b＝a·c＝0B [对于 A 项，左边＝|a|2|b|2cos2〈a，b〉，右边＝|a|2|b|2，∴左边≤右边，故 A 错误．对于 C 项，数量积不满足结合律，∴C 错误．在 D 中，a·(b－c)＝0，∴a·b－a·c＝0，∴a·b＝a·c，但 a·b 与 a·c 不一定等于零，故 D 错误．对于 B 项， a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，－1≤cos〈a，b〉≤1，∴|a·b|≤|a||b|，故 B 正确．]2．已知 a，b，c 是两两垂直的单位向量，则|a－2b＋3c|等于( )A．14 B. C．4 D．2B [ |a－2b＋3c|2＝(a－2b＋3c)·(a－2b＋3c)＝|a|2＋4|b|2＋9|c|2＝14，∴|a－2b＋3c|＝.]3．已知|a|＝3，|b|＝2，a·b＝－3，则〈a，b〉＝________.120° [ cos〈a，b〉＝＝＝－.∴〈a，b〉＝120°.]数量积运算【例 1】 如图所示，已知正四面体 OABC 的棱长为 1，点 E，F 分别是 OA，OC 的中点．求下列向量的数量积：(1)OA·OB；(2)EF·CB；(3)(OA＋OB)·(CA＋CB)．[思路探究] 根据数量积的定义进行计算，求出每组向量中每个向量的模以及它们的夹角，注意充分结合正四面体的特征．[解] (1)...
