3.1.4 空间向量的直角坐标运算学 习 目 标核 心 素 养1.了解空间向量坐标的定义.2.掌握空间向量运算的坐标表示．(重点)3.能够利用坐标运算来求空间向量的长度与夹角．(难点、易混点) 通过空间向量的直角坐标运算的学习，提升学生的数学运算、逻辑推理素养.1．空间向量的坐标表示空间直角坐标系及空间向量的坐标(1)建立空间直角坐标系 Oxyz，分别沿 x 轴，y 轴，z 轴的正方向引单位向量 i，j，k，这三个互相垂直的单位向量构成空间向量的一个基底{i，j，k}，这个基底叫做单位正交基底．单位向量 i，j，k 都叫做坐标向量．(2)空间向量的坐标在空间直角坐标系中，已知任一向量 a，根据空间向量分解定理，存在唯一实数组(a1，a2，a3)，使 a＝a1i＋a2j＋a3k，a1i，a2j，a3k 分别为向量 a 在 i，j，k 方向上的分向量，有序实数组(a1，a2，a3)叫做向量 a 在此直角坐标系中的坐标．上式可简记作 a＝( a 1， a 2， a 3) ． 思考 1：若 a＝x1e1＋ye2＋ze3，则 a 的坐标一定是(x，y，z)吗？[提示] 不一定，当 e1，e2，e3是单位正交基底时，坐标是(x，y，z)，否则不是．2．空间向量的坐标运算空间向量 a，b，其坐标形式为 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．向量运算向量表示坐标表示加法a＋b(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)减法a－b(a1－b1，a2－b2，a3－b3)数乘λa(λa1，λa2，λa3)数量积a·ba1b1＋a2b2＋a3b33.空间向量的平行、垂直及模、夹角(1)设 A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)则AB＝( x 2－ x 1， y 2－ y 1， z 2－ z 1) ． |AB|＝.(2)设 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，名称满足条件向量表示形式坐标表示形式a∥ba＝λb(λ∈R)a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)a⊥ba·b＝0a1b1＋a2b2＋a3b3＝0模|a|＝|a|＝夹角cos〈a，b〉＝cos〈a，b〉＝1思考 2：若向量AB＝(x，y，z)，则点 B 的坐标是(x，y，z)吗？[提示] 不一定．A 点与原点重合是，不与原点重合则不是．1．已知向量 a＝(－3,2,5)，b＝(1，x，－1)，且 a·b＝2，则 x 的值为( )A．3 B．4 C．5 D．6C [ a·b＝－3×1＋2x＋5×(－1)＝2，∴x＝5.]2．已知向量 a＝(3，－2,1)，b＝(－2,4,0)，则 4a＋2b 等于( )A．(16,0,4) B．(8，－16,4)C．(8,16,4) D．(8,0,4)D [4a＋2b＝4(3，－2,1)＋2(－2,4,0)＝(12，－8,4)＋(－4,8,0)＝(8,0,4)．]3．已知 A(2，－5,1)，B(2，－2,4)，C(1，－4,1)，则向量AB与AC的夹角为__...
