3．2.1 直线的方向向量与直线的向量方程学 习 目 标核 心 素 养1.理解直线的方向向量，了解直线的向量方程．(重点)2.会用向量方法证明线线、线面、面面平行．(难点、易混点)3.会用向量证明两条直线垂直，求两条直线所成的角．(难点)1.通过学习直线的方向向量及方向方程等概念，培养学生的数学抽象素养.2.利用向量法证明两直线垂直，求两直线所成的角，提升学生的逻辑推理素养.1．用向量表示直线或点在直线上的位置(1)在直线 l 上给定一个定点 A 和它的一个方向向量 a，对于直线 l 上的任意一点 P，则有AP＝ta 或OP＝OA ＋ ta 或OP＝(1 － t ) OA ＋ t OB (AB＝a)，上面三个向量等式都叫做空间直线的向量参数方程．向量 a 称为该直线的方向向量．(2)线段 AB 的中点 M 的向量表达式OM＝( OA ＋ OB ) ．2．用向量方法证明直线与直线平行、直线与平面平行、平面与平面平行(1)设直线 l1和 l2的方向向量分别为 v1和 v2，则由向量共线的条件，得 l1∥l2或 l1与 l2重合⇔v1∥v2.(2)已知两个不共线向量 v1，v2与平面 α 共面，一条直线 l 的一个方向向量为 v，则由共面向量定理，可得 l∥α 或 l 在 α 内⇔存在两个实数 x，y，使 v＝xv1＋ yv 2.(3)已知两个不共线向量 v1，v2与平面 α 共面，则由两平面平行的判定与性质，得 α∥β或 α 与 β 重合⇔v1∥ β 且 v 2∥ β . 3．用向量运算证明两条直线垂直或求两条直线所成的角设两条直线所成的角为 θ，v1和 v2分别是 l1和 l2的方向向量，则 l1⊥l2⇔v1⊥ v 2，cos θ＝|cos 〈 v 1， v 2〉 |. 1．直线 l1，l2的方向向量分别为 v1＝(3,0,1)，v2＝(－1,0，m)，若 l1∥l2，则 m 等于( )A．1 B．3C. D．－D [因为 l1∥l2.所以存在实数 λ，使 v1＝λv2即(3,0,1)＝λ(－1,0，m)，∴解得 m＝－.]2．若 A(1,0，－1)，B(2,1,2)在直线 l 上，则直线 l 的一个方向向量是( )A．(2,2,6) B．(1,1,3) C．(3，l,1) D．(－3,0,1)B [AB＝(2,1,2)－(1,0，－1)＝(1,1,3)，故选 B.]3．直线 l1与 l2不重合，直线 l1的方向向量为 v1＝(－1,1,2)，直线 l2的方向向量 v2＝(2,0,1)，则直线 l1与 l2的位置关系是________．1垂直 [因为 v1·v2＝(－1,1,2)·(2,0,1)＝－2＋2＝0，所以 v1⊥v2.] 空间中点的位置确定【例 1】 已知 O 是坐标原点，A，B，C 三点的坐标分别为 A(3，4,0)，B(2,5,5)...
